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1. Semester (Polson)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 10:53: | 
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Was kann ich darunter verstehen?
Und wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Sei Matrix A =
| 3 -2 -1 |
|-2 3 -1 |
|-1 -1 9/2|
Bestimme eine orthogonale Matrix O e O(3,R) so,
dass O^-1 * A * O Diagonalgestalt hat.
Es gibt noch Hinweis für Physiker:
Es handelt sich um den Trägheitstensor eines
starren Körpers. Die Eigenwerte heißen die
Hauptträgheitsmomente.
Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 14:38: |
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Hi Polson,
Du gehst systematisch so vor:
1.Ermittlung der Eigenwerte L1, ,L2 , L3 der Matrix A.
charakteristische Gleichung:
- L^3+ 21 /2 * L^2 - 30 * L + 25 /2 = 0
Resultat:L1 = L2 = 5 , L3 = ½
2.Bestimmung der zugehörigrn Eigenvektoren
Resultat: e1= {0; w;-2w}' , e2={w;0;-2w}' , e3={2w;2w;w}'
mit w = 1/wurzel(5).
3.Aufstellung der Transformationsmatrix T
( neue Bezeichnung statt O)
Die in 2. ermittelten Vektoren sind die Spaltenvektoren von T
4.Berechnung von S = T ^ (-1) A T
Resultat:
In der Hauptdiagonalen stehen die Eigenwerte 5 , 5 , ½
sonst lauter Nullen.
Anm.
Du findest mehrere durchgerechnete Beispiele der letzten Tage
zur Hauptachsentransformation im Archiv.
Rückfragen an mich erlaubt !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 19:54: |
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Hi,
Zur Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren findest
Du Hilfe im Archiv unter dem Stichwort
"Säkulargleichung".
Eine Bemerkung zu meiner vorangehenden Arbeit
Da die charakteristische Gleichung oder eben die
Säkulargleichung bei Deinem Beispiel eine Doppellösung
(5) hat, sind die zugehörigen Eigenvektoren in einem ganz
bestimmten Sinn unbestimmt.
Damit die Transformationsmatrix orthogonal wird
(nicht nur quasi-orthogonal), ersetzen wir den Eigenvektor
e2 durch das Vektorprodukt e3 x e1; neu gilt also:
e2 = { - 5/3 * w ; 4/3 * w ; 2/3 * w}
Alles andere bleibt gleich .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
1. Semester (Polson)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 11:39: |
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Danke für die Hilfe! |
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