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P.C.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 14:33: |
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Hi, ich habe folgende Aufgabe und leider keine Ahnung wie ich die lösen soll. Ich hoffe mir kann jemand dabei helfen. Danke im Voraus. Im R^4 über R wird durch die Vektoren u1=(2,-1,3,5), u2=(5,-2,5,8), u3=(-5,3,-8,-13), u4=(7,-3,8,13) ein Untervektorraum U und durch die Vektoren v1=(4,1,-2,-4), v2=(-7,2,-6,-9),v3=(3,0,0,-1) ein Untervektorraum V aufgespannt. Berechne eine Basis von U geschnitten V. |
Fern
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 18:43: |
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Hallo P.C., Im R^4 über R wird durch die Vektoren u1=(2,-1,3,5), u2=(5,-2,5,8), u3=(-5,3,-8,-13), u4=(7,-3,8,13) ein Untervektorraum U und durch die Vektoren v1=(4,1,-2,-4), v2=(-7,2,-6,-9),v3=(3,0,0,-1) ein Untervektorraum V aufgespannt. Berechne eine Basis von U geschnitten V. =====================
Zuerst bestimmen wir eine Basis für U und eine Basis für V: [ 2 5 -5 7] [ ] [-1 -2 3 -3] U := [ ] [ 3 5 -8 8] [ ] [ 5 8 -13 13] Diese Matrix reduziert ergibt: [1 0 0 1] [ ] [0 1 0 1] [ ] [0 0 1 0] [ ] [0 0 0 0] Die Vektoren u1,u2,u3 bilden also eine Basis von U dim(U)=3 Jetzt bestimmen wir genauso eine Basis für den Unterraum V: [ 4 -7 3] [ ] [ 1 2 0] V := [ ] [-2 -6 0] [ ] [-4 -9 -1] Reduziert: [1 0 0] [ ] [0 1 0] [ ] [0 0 1] [ ] [0 0 0] Die Vektoren v1,v2,v3 sind also unabhängig und spannen den Raum V auf. Sie bilden eine Basis von V. dim(V)=3 Nun betrachten wir den Vektorraum U+V: Dazu bilden wir die Matrix mit den Basisvektoren als Spalten: [ 2 5 -5 4 -7 3] [ ] [-1 -2 3 1 2 0] UV := [ ] [ 3 5 -8 -2 -6 0] [ ] [ 5 8 -13 -4 -9 -1] Reduziert: [1 0 0 0 1 -3] [ ] [0 1 0 0 1 -1] [ ] [0 0 1 0 2 -2] [ ] [0 0 0 1 -1 1] Die reduzierte Matrix hat 4 Pivots, daher ist dim(U+V)=4 Es gilt die Beziehung: (Es bedeutet UsV: U geschnitten V) dim(UsV)= dim(U)+dim(V) - dim(U+V) = 3 + 3 - 4 = 2 Der gesuchte Unterraum (UsV) hat also die Dimension = 2. Jetzt zur Basis von (UsV): Jeder Vektor in U hat die Form: a*u1+b*u2+c*u3 Jeder Vektor in V hat die Form: d*v1+e*v2+f*v3 Wir müssen a,b,c,d,e,f (aus R) so bestimmen, dass a*u1+b*u2+c*u3 = d*v1+e*v2+f*v3 ist. [1] oder: a*u1 + b*u2 + c*u3 - d*v1 - e*v2 - f*v3 = 0 Dies sind in Komponentenform geschrieben 4 lineare, homogene Gleichungen deren Koeffizientenmatrix ist: [ 2 5 -5 -4 7 -3] [ ] [-1 -2 3 -1 -2 0] UsV := [ ] [ 3 5 -8 2 6 0] [ ] [ 5 8 -13 4 9 1] [1 0 0 0 -1 3] [ ] [0 1 0 0 -1 1] [ ] [0 0 1 0 -2 2] [ ] [0 0 0 1 -1 1] Wie erwartet: 2 freie Variable: e und f Wir lesen ab: a=e-3f b=e-f c=2e-2f d=e-f e=e f=f Dies in die linke (oder rechte) Seite von [1] eingesetzt ergibt: Jeder Vektor w aus dem Vektorraum (UsV) kann geschrieben werden: w:=e*(u1+u2+2*u3)+f*(-3*u1-u2-2*u3); w := e [-3, 3, -8, -13] + f [-1, -1, 2, 3] oder: W:=e*(v1+v2)+f*(-v1+v3); W := e [-3, 3, -8, -13] + f [-1, -1, 2, 3] Wobei e und f Parameter sind. Die gesuchte Basis von (UsV) ist also: ([-3,3,-8,-13] , [-1,-1,2,3]) (Klammern () müssten geschwungene sein!) ========================================= Sorry für die kleine Schrift. Bei Bedarf kann ich es auch größer eingeben! |
P.C.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 18:49: |
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Danke Fern! |
Frauke
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 13:46: |
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Kann mir vielleicht jemand den Begriff "Untergruppe" erklären? Meine Aufgabe ist: Untersuche die Gruppe der Deckabbildungen eines regelmäßigen Sechsecks - auf sich bezüglich der Verknüpfung "Hintereinanderausführung" - auf Gruppeneigenschaften und Untergruppen. Vielen Dank im Voraus! :o) |
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