Autor |
Beitrag |
Jan
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 12:04: |
|
Vielen Dank noch mal an Quaternion. Hab' meinen Denkfehler beim Ableiten von e-Funktionen jetzt hoffentlich ertappt ;-) Leider blieb meine andere Frage noch offen, die da lautete: P(x) und Q(x) sind Polynome mit Q(x)!=0 für x!=0. 1. ZZ: Die Funktion f:R->R mit f(0)=0 und f(x)=[P(x)/Q(x)}*e^(-1/x^2) für x!=0 ist auf ganz R diffbar mit f'(0)=0. Bei einer anderen Teilaufgabe dachte ich, dass ich auf dem richtigen Weg wäre, doch irgendwie lande ich immer in einer Sackgasse: Man sollte noch _durch Induktion_ zeigen, dass (g^(n))(x) =[Pn(x)/Qn(x)}*e^(-1/x^2) für x!=o ist, wobei g^(n) die n-te Ableitung ist. Kann man da vielleicht was machen, indem man g^(n+1) umschreibt zu [g^(n)]' ??? Danke, danke im Vorraus, Jan |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 15:01: |
|
Hallo : Zunaechst zu g(x) := exp(-1/x^2) Behauptung : g^(n)(x) = p_n(1/x) g(x), wobei p_n(z) ein Polynom vom Grad 3n in z ist. Das stimmt offenbar fuer n=0 mit p_0(z) = 1, und es sei fuer irgendein n schon gesichert. Nun leitet man ab (beachte die Produkt-und die Kettenregel !): g^(n+1)(x) = [(2/x^3) p_n(1/x) - (1/x^2) p_n'(1/x)]g(x) = [2 z^3 p_n(z) - z^2 p_n'(z)]g(x) , z := 1/x. Daraus ersieht man, dass die p_n sich rekursiv folgendermassen bestimmen lassen : p_0(z) = 1 , p_(n+1)(z) = 2 z^3 p_(n)(z) - z^2 p_(n)'(z). Also findet man z.B. p_1(z) = 2 z^3 , p_2(z) = 4 z^6 - 6 z^4 , p_3(z) = 8 z^9 - 36 z^7 + 24 z^5 , etc. Was Teil 1. betrifft, so muss man die Differenzierbarkeit nur fuer die Stelle x = 0 nachweisen. Dazu betrachtet man den Differenzen- quotienten [f(h) - f(0)]/h = P(h)/Q(h)*(1/h)*exp(-1/h^2). Wegen Q(h) <> 0 und lim(h->0)[(1/h)exp(-1/h^2)]=0 (letzteres eine bekannte Aussage ueber das Wachs- tum der Exponentialfunktion) folgt die Beh. Gruss Hans |
|