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Elly
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 14:22: |
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Hallo! Ich checke meine HA nicht so ganz! Ich soll das Volumen des Kreises(also: V=4/3pi*r^3) beweisen. Habe den Kreis jetzt rotiert, denke ich muss den Satz des Pothagoras anwenden um f(x) zu betsimmen. Das wäre dann f(x)=Wurzel aus r^2 - x^2 Man muss von -r bis r integrieren, r ist dabei constant. Ansetzen kann ich ja(hoffe ich!) Das wäre dann V= Pi* Integral von -r bis r*f(x)^2*dx Und nun? WEr kann den Beweis fortführen? Vielen Dank wenn ihr mir helfen würdet! MfG Elly |
Anonym
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 14:59: |
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Hallo Elly! Sieh' mal weiter unten unter: Volumen einer Halbkugel. |
IQzero
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 18:42: |
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Hi Elly! Wenn man die auf das Intervall [a;b] beschränkte Funktion f(x) um die x-Achse rotieren lässt, so hat der entstehende Rotationskörper das Volumen: V = Pi a§b f(x)² dx { dabei soll § das Integralzeichen, a die untere und b die obere Grenze sein. } Um Als Rotationskörper eine Kugel zu erhalten lassen wir einen Kreisbogen mit dem Ursprung als Mittelpunkt rotieren. Wegen Pythagoras gilt dann: x² + y² = r² => y = f(x) = Ö(r² - x²) Der Kreisbogen scheidet bei x = -r und x = +r die x-Achse, also sind a = -r und b = +r die Grenzen des Intervalls. In unserem Falls ergibt sich also als Rotationsvolumen: V = Pi -r§r Ö(r² - x²)² dx Da der Bogen symmetrisch zur y-Achse ist, kann man auch der Einfachheit halber als Grenzen [0;r] nehmen und das Volumen dafür verdoppeln. Ausserdem fällt die Wurzel gegen das Quadrat weg: V = 2Pi 0§r r² - x² dx ............................r V = 2Pi [r²x - 1/3 x³] ...........................0 V = 2Pi (r²r - 1/3 r³ - 0) V = 2Pi 2/3 r³ V = 4/3 Pi r³ ========= |
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