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Richard Wiemann
| Veröffentlicht am Dienstag, den 21. September, 1999 - 15:31: |
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Kann jemand dieses Integral, mit Zwischenschritten, lösen? Bedingung: Zuerst Subst. mit x=cos(t) (Grenzen!!), dann partiell. |
Anonym
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. September, 1999 - 22:47: |
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Tip: 1) t=arccos(x), so bekommst Du die neuen Integrationsgrenzen. 2) dx=-sin(t) dt 3) 1-co2²t=sin²t Versuch es mal damit, dann kommst Du sicher klar. Sonst melden. |
Ilhan
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 1999 - 00:11: |
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Hallo Richard, hier mein Lösungsvorschlag : 1) Substitution ------------------ x = cos(t) 1*dx = -sin(t)*dt 2) das "neue" Integral lösen ------------------------------ Integral[Wurzel(1-x²)] => Integral[Wurzel[1-cos²(t)]*(-sin(t)*dt] Wurzel[1-cos²(t)] = sin(t) und somit : Integral[Wurzel[1-cos²(t)] * (-sin(t) * dt] = - Integral[sin(t) * sin(t) * dt] Abkürzung : I1 = - Integral[ sin(t) * sin(t) * dt] I1 = - Integral[ sin(t) * sin(t) * dt ] I1 = - Integral[ u * v´] I1 = - ( u * v - Integral[ u´ * v]) I1 = - u * v + Integral[ u´ * v]) partielle Integration mit u = sin(t) => u´= cos(t) v´= sin(t) => v = -cos(t) I1 = - sin(t) * (-cos(t)) + Integral[(-cos(t)) *cos(t)*dt]) I1 = + sin(t) * cos(t) - Integral[cos(t) *cos(t)*dt] I1 = sin(t) * cos(t) - Integral[cos²(t) *dt] Es gilt : sin²(t) + cos²(t) = 1 und daraus : cos²(t) = 1-sin²(t) (ohne diese "Vereinfachung" dreht man sich im Kreis !!) einsetzen in die obige Gleichung: I1 = sin(t)*cos(t) - Integral[ (1 - sin²(t)) * dt] I1 = sin(t)*cos(t) - Integral[1*dt] + Integral[sin²(t)*dt] I1 = sin(t)*cos(t) - t + Integral[sin²(t)*dt] I1 = sin(t)*cos(t) - t - (-Integral[sin²(t)*dt]) I1 = sin(t)*cos(t) - t - I1 Den Term " I1 " auf die linke Seite bringen ergibt : 2*I1 = sin(t)*cos(t) - t I1 = (1/2)*(sin(t) * cos(t) - t) 3) Berechnung des bestimmten Integrals --------------------------------------- Um das bestimmte Integral zu berechnen, muß man entwerder rücksubstituieren und die ursprünglichen Grenzen einsetzen, oder die Grenzen auch substituieren und einsetzen 3.1) ohne Rücksubstitution ------------------------- Es war : x = cos(t) => -1 = cos(t) => t = arccos(-1) = Pi => +1 = cos(t) => t = arccos(+1) = 0 I1 |(Pi,0) = (1/2)*(sin(t) * cos(t) - t) |(Pi,0) I1 |(Pi,0) = (1/2)*[(Sin(0)*cos(0) - 0 - (sin(Pi)*cos(Pi) - Pi] I1 |(Pi,0) = (1/2)*[0 - 0 + Pi] I1 |(Pi,0) = + Pi/2 3.2) mit Rücksubstitution --------------------------- I1 = (1/2)*(sin(t) * cos(t) - t) Es war : x = cos(t) => t = arccos(x) weiterhin x = cos(t) = Wurzel[1 - sin²(t)] und daraus x² - 1 = -sin²(t) 1 - x² = sin²(t) ===> sin(t) = Wurzel[1-x²] und somit wird aus : I1 = (1/2)*(sin(t)*cos(t) - t) Integral[Wurzel[1-x²]] = (1/2)*[Wurzel[1-x²]*x - arccos(x)] Die Grenzen eingesetzt bekommt man : Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = (1/2)*[x*Wurzel[1-x²] - arccos (x)] |(-1,1) Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = (1/2)*[(1*Wurzel[1-1²] - arccos (1)) - ((-1)*Wurzel[1-(-1)²] - arccos(-1))] Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = (1/2)*[ 0 + 0 - 0 + Pi] Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = + Pi/2 Viel Spaß beim Nachvollziehen Ilhan |
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