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Beitrag |
    
orsina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 12:01: | 
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hat jemand lust und zeit, sich meinem mathe-aufgabenzettel zu widmen?
wäre super-dankbar und würde mich revangieren mit ha anderer art.
sos
danke im voraus
christiane |
orsina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 12:11: |
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wäre das möglich bis spätestens montag(17.4.00)?? |
Pi*Daumen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 13:41: |
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Stell einfach die Fragen, die Du hast, hier ins Board hinein, jeweils ins passende Thema, möglichst nicht 10 auf einmal, sondern sukzessive.
Pi*Daumen |
orsina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 13:58: |
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hier aufgabe a)
ihr müsst wissen, ich bin das, was man doof in mathe nennt...
a) Eine Prabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat an den Stellen x1=0 und x2=4
zueinander parallele Tangenten.An der Stelle x3=1 besitzt sie eine waagerechte Tangente.Die
x-Achse im Bereich 0<=(kleiner-gleich)x<=(kleiner-gleich)1, die Gerade x=1 und die Parabel, welche
in diesem Bereich im 1. Feld verläuft, schließen eine Fläche mit dem Inhalt 11/4 (elf Viertel)
ein.Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 15:09: |
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Hallo Orsina!
die allgemeine Gleichung eines Polynomes 3. Ordnung ist f(x)=ax³+bx²+cx+d (eine Parabel 3. Ordnung wäre nur f(x)=ax³)
Aus den Angaben lassen sich 4 Gleichungen herauslesen:
f(0)=0, weil der Polynom durch den Ursprung geht
f'(0)=f'(4), weil die Steigungen der Tangenten an diesen zwei Punkten gleich sind
f'(1)=0, weil die Tangente an dieser Stelle waagrecht ist, also ihre Steigung gleich 0
ò0 1f(x)dx=11/4, weil die Fläche, die der Graph von 0 bis 1 unter sich einschießt, eben diesen Flächeninhalt hat.
Nun setzen wir diese Formeln nach und nach in die allgemeine Formel ein.
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f(0)=0
d=0
also haben wir die erste Konstante schon berechnet.
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f'(0)=f'(4)
c=3a16+2b4+c=48a+8b+c
0=48a+8b
-48a=8b
-6a=b
nun haben wir die zweite Konstante (fast) berechnet. aber zukünfig werden wir immer statt b einfach -6a schreiben
f'(x)=3ax²+2bx+c=3ax²-12ax+c
f'(1)=0
3a-12a+c=0
-9a+c=0
c=9a
das ist die dritte Konstante, die wir berechnet haben. im weiteren statt c 9a schreiben.
ò0 1f(x)dx=11/4
ò0 1(ax³-6ax²+9ax)dx=11/4
[ax4/4-2ax³+9x²/2]01=11/4
a/4-2a+9a/2=11/4
a-8a+18a=11
11a=11
a=1
und somit haben wir auch die letzte Konstante berechnet:
a=1
b=-6a=-6
c=9a=9
d=0
Der Polynom lautet:
f(x)=x³-6x²+9x
Reinhard |
Bodo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 15:26: |
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Und so sieht die Parabel aus (gezeichnet mit dem Funktionenplotter auf der Hauptseite):
Ciao,
Bodo |
orsina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 15:33: |
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danke für a) mir geht es schon wesentlich besser *s*
hier aufgabe b)
b) Zu jedem t<0 ist durch ft(x)=t²x³-6tx²+9x; x ist Element R ;eine Funktion ft(f t, NICHT f mal t!!!)
gegeben. Ihr Schaubild sei Kt (K t ) .Untersuchen Sie Kt auf Schnittpunkte mit den Achsen sowie auf
Extrempunkte und Wendepukte.Zeichnen Sie die Kurve K1 (t=1) im Bereich 0<=x<=4.
(Längeneinheit=2cm) |
Bodo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 16:28: |
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Sorry, meine natürlich "das Polynom" |
orsina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 20:01: |
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ganz lieben dank bodo und reinhard *s*
aufgabe b) gehört auch noch zum zettel, den ich dienstag abgeben muss. |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 20:35: |
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Zu Aufgabe b)
Die Funktion y=ft(x)=t²x³-6tx²+9x soll untersucht werden auf:
• Schnittpunkte mit den Achsen
zuerst die Schnittpunkte mit der y-Achse. die Formel für die y-Achse ist x=0. dieses setzen wir in die Funktion ein:
ft(0)=0.
Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt (0;0)
die Formel für die x-Achse ist y=0. Wir suchen also jene Punkte der Funktion, wo der Funktionswert 0 ist:
ft(x)=t²x³-6tx²+9x=0
wir können ein x herausheben
x(t²x²-6tx+9)=0
ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also
x=0 oder t²x²-6tx+9=0
x=0 oder x²-6x/t+9/t²=0
x=0 oder x1,2=3/t±wurzel(9/t-9/t)
x=0 oder x=3/t
die Funktion schneidet die x-Achse in den Punkten (0;0) und (3/t;0)
• Extrempunkte
Extrempunkte findet man, indem man die erste Ableitung 0 setzt.
ft'(x)=3t²x²-12tx+9=0
t²x²-4tx+3=0
x²-4x/t+3/t²=0
x1,2=2/t±wurzel(4/t²-3/t²)
x=2/t-1/t=1/t oder
x=2/t+1/t=3/t
Nun überprüfen wir, ob es sich um Maxima oder um Minima handelt. Dies tut man, indem man den gefundenen Punkt in die zweite Ableitung einsetzt. Kommt ein Wert größer 0 heraus, ist es ein Minimum, kommt ein Wert kleiner 0 heraus, ist es ein Maximum.
ft''(x)=6t²x-12t
ft''(1/t)=6t-12t=-6t ist kleiner 0
ft''(3/t)=18t-12t=6t ist größer 0
ft(1/t)=1/t-6/t+9/t=4/t
ft(3/t)=0 (siehe schnittpunkte mit den Achsen)
Die Funktion hat im Punkt (1/t;4/t) ein Maximum und im Punkt (3/t;0) ein Minimum
• Wendepunkte
einen Wendepunkt erhält man, wenn man die zweite Ableitung nullsetzt.
ft''(x)=6t²x-12t=0
6t²x=12t
t²x=2t
x=2/t
ft(2/t)=8/t-24/t+18/t=2/t
Die Funktion hat im PUnkt (2/t;2/t) einen Wendepunkt)
Die Funktion f1(x) sieht so aus:
Reinhard |
orsina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 05:19: |
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super *freufreu* danke *s*
der zettel beinhaltet noch ein c):
c)Geben Sie die Gleichung der Kurve an, auf der die Wendepunkte Wt aller Kurven Kt aus
Teilaufgabe b) liegen.Weisen Sie nach, daß alle Wendetangenten zueinander parallel sind.Für jedes
t>0 geht eine Gerade gt (NICHT g mal t!!) durch den Hochpunkt und Tiefpunkt von Kt.Wie lautet
die Gleichung dieser Geraden g?Zeigen Sie, daß der Wendepunkt Wt ebenfalls auf dieser Geraden gt
liegt.
christiane |
orsina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 15:05: |
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sorry, das ich c) nicht gleich als neuen beitrag gesendet habe |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 22:17: |
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Hallo Christiane
c)
Der Wendepunkt von ft(x) ist (2/t;2/t). Was hier auffällt, ist daß die y-Komponente gleich der x-Komponente ist, also y=x. Und das ist auch schon die Gleichung der Kurve, auf der alle Wendepunkte liegen.
Wenn alle Wendetangenten parallel sein sollen, dann müssen sie dieselbe Steigung haben.
die Steigung berechnet man mit ft'(x)=3t²x²-12tx+9
die Steigung an der Wendestelle 2/t ist
ft'(2/t)=3t2/t-12t2/t+9=6-24+9=-9
die Steigung aller Wendetangenten, unabhängig davon, welches t man wählt, ist -9, somit sind sie parallel.
Die Gerade gt geht durch die beiden Extrempunkte (1/t;4/t) und (3/t;0). Der Richtungsvektor dieser Geraden ist somit (1/t;4/t)-(3/t;0)=(-2/t;4/t).
man kann also in Parameterform schreiben
gt: (x;y)=(3/t;0)+s(-2/t;4/t)
multiplizieren wir dies mit dem Normalvektor (4/t;2/t), so erhalten wir:
(x;y)(4/t;2/t) = (3/t;0)(4/t;2/t) + s(-2/t;4/t)(4/t;2/t)
4x/t+2y/t = 12/t² + 0
4x+2y=12/t
Die Gleichung der Geraden, die durch die Extremwerde gehen ist
gt: 2x+y=6/t
Daß der Wendepunkt Wt=(2/t;2/t) auf der Geraden gt liegt, ist schnell gezeicht, indem man Wt einfach in gt einsetzt:
2*2/t+2/t=6/t
6/t=6/t
Der Wendepunkt erfüllt die Geradengleichung und liegt somit auf derselbigen.
Reinhard |
christiane orsina
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. April, 2000 - 05:30: |
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hallo reinhard,
vielen dank für deine hilfe. *s* *freufreu*
dies ist nun die letzte aufgabe von dem zettel:
d) Durch den Punkt p(r/0) mit 0<r<2 und den Hochpunkt von K1 aus Teilaufgabe b) geht eine
Gerade. Diese Gerade teilt die von der Kurve K1 und der x-Achse eingeschlossene Fläche in zwei
Teile.Bestimmem Sie r so, daß die Fläche halbiert wird. |
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