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mp1
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 15:48: |
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Hallo! Ich habe ein Problem und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. In meinem Beispiel sind drei Geraden gegeben: a:x+y=9 b:7x+y=-27 c:7x-5y=51 Diese drei Geraden sind die Trägerlinien eines Dreiecks. Gesucht ist die Formel der Eulerschen Geraden. Es ist zwar sehr einfach den Schnittpunkt S des Dreiecks (ich glaube (3/6)) zu finden, aber dann komme ich einfach nicht mehr weiter. Woher bekomme ich den Richtungsvektor für diese Gerade? |
Ralf
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 22:30: |
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Was ist die Eulersche Gerade?? Wie ist sie definiert? Ralf |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 07:59: |
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Hi mp1, Ein paar Vorbemerkungen drängen sich auf: 1. Begriff Eulersche Gerade: In einem Dreieck liegen der Schnittpunkt H der Höhen, der Schwerpunkt S und der Mittelpunkt U des Umkreises auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden . Wir werden im folgenden diese Gerade zu Ehren von Leonhard Euler mit l bezeichnen. Wir ermitteln zuächst die Punkte S und U; dadurch ist l bestimmt. Zur Kontrolle prüfen wir, ob auch H auf l liegt. 2. Es ist nützlich, alle gegebenen und errechneten Daten in ein rechtwinkliges Koordinatensystem einzutragen, Einheit auf den Achsen 4 oder 5 mm. 3 Wir benützen für alle Geraden die Koordinatengleichungen und kommen ohne Vektoren aus. Hingegen berechnen wir des öftern Steigungen m von Dreiecksseiten als Quotient der Differenzen der gleichnamigen Koordinaten der Endpunkte; im Zähler steht die Differenz der y-Koordinaten, im Nenner diejenige der x-Koordinaten Wir machen wiederholt vom Satz Gebrauch, dass für zwei Geraden, welche aufeinander senkrecht stehen, das Produkt ihrer Steigungen minus 1 ist. 4: Um eine Gerade durch einen gegebenen Punkt P1(x1/y1) mit der gegebenen Steigung m zu legen, verwenden wir die sogenannte Punkt-Richtungsform der Geradengleichung ; sie lautet: y - y1 = m ( x - x1 ) 5 Die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke sind die arithmetischen Mittel der gleichnamigen Koordinaten der Endpunkte. Die Koordinaten des Schwerpunktes ergeben sich analog als Mittelwerte er entsprechenden Koordinaten der Ecken A,B,C 1.Schritt: Ermittlung der Ecken A,B,C des Dreiecks: A ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden b , c aus Deiner zweiten und dritten Gleichung; Resultat: A ( -2 / -13 ) B ebenso als Schnittpunkt von c , a aus der dritten und ersten Gleichung; Resultat: B ( 8 / 1 ) C als Schnittpunkt von a, b aus der ersten und zweiten Gleichung, Resultat: C ( -6 / 15) 2.Schritt: Ermittlung des Schwerpunktes S Nach der Bemerkung 5 erhalten wir sofort: xS = ( -2 + 8 - 6 ) / 3 = 0 , yS = (-13 + 1 + 15) / 3 = 1, somit S(0/1) 3.Schritt: Ermittlung des Umkreismittelpunktes U als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten AB und BC Mittelsenkrechte n1 von AB geht durch den Mittelpunkt ( 3 /-6 ) der Seite AB und steht auf ihr senkrecht Steigung von AB: (1+13) / (8+2)= 7 / 5, daher Steigung von n1 : - 5 / 7 Gleichung von n1 mit Punkt-Richtungsform: y + 6 = - 5/7 *(x .3) oder y = -5 / 7 x - 27 / 7. Mittelsenkrechte n2 von BC geht durch den Mittelpunkt ( 1 / 8 ) der Seite BC und steht auf ihr senkrecht. Steigung von BC: (- 6 - 8 ) / (15 -1) = - 1 , daher Steigung von n2: +1 Gleichung von n2 mit Punkt-Richtungsform: y - 8 = 1* ( x - 7 ) oder y = x + 7 U ist der Schnittpunkt der Geraden n1, n2; wir bekommen für U die Koordinaten xU = - 19 / 3 , yU = 2 / 3. 4.Schritt Gleichung der Eulergeraden l Die Gerade ist durch die Punkte S und U bestimmt Als Steigung ergibt sich der Wert m = (1 - 2 / 3) / ( 0 + 19 / 3 ) = 1 / 19 wir legen l durch S; die Gleichung von l lautet: y -1 = 1 /19 x oder y = 1/19 * x + 1 als lang ersehntes Schlussresultat Fortsetzung folgt ! Gruss.H.R.M. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 10:12: |
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Hi mp1, In der Fortsetzung berechnen wir noch die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H , und wir kontrollieren, ob H auf der Eulergeraden l liegt. Wir kennen bereits die Gleichung von l ,nämlich y = 1/19 * x + 1 H wird bestimmt als Schnittpunkt der Höhen ha und hc. ha geht durch A (- 2 /-13 ) , senkrecht zu BC ; die Steigung ist 1; Gleichung von ha : y + 13 = 1* ( x + 2 ) oder y = x -11 hc geht durch C ( - 6 / 15 ) , senkrecht zu AB ; Steigung - 5 / 7 Gleichung von hc: y - 15 = - 5 / 7 * ( x + 6 ) oder y = -5 / 7* x + 75 / 7 H ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden;wir erhalten nach leichter Rechnung xH = 38 / 3 , yH = 5 / 3. Diese Koordinaten erfüllen die Gleichung der Eulerschen Geraden l , somit liegt auch U - wie es seit Leonhard Euler sein muss - auf l ! Bravo und Gruss H.R.M. |
Mhk (Mhk)
| Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 15:22: |
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Die Steigung der Eulerschen Geraden erhält man aus den drei Steigungen der Trägergeraden zu: mi=-(m1*m2+m2*m3+m3*m1+3)/(3*m1*m2*m3+m1+m2+m3) |
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