Autor |
Beitrag |
Sonja
| Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 16:46: |
|
Es wäre super, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte: Bestimme die Gleichung der Parabel 3. Grades, welche die Parabel mit der Gleichung y=1/4 x^2 in O berührt und in H(5; 25/4) ihren Hochpunkt hat. Berechne die Fläche A1, die von beiden Kurven umschlossen wird. Bestimme u>5 so, dass die Gerade x=u mit den beiden Kurven die Fläche A2=A1 begrenzt. Vielen Dank im Voraus. |
K.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 09:40: |
|
Hallo Sonja allgemeine Gleichung der gesuchten Funktion ist f(x)=ax³+bx²+cx+d f'(x)=3ax²+2bx+c Kurve geht durch O: f(0)=0 <=> d=0 Kurve hat in O die gleiche Steigung wie y=0,25x² => y'=0,5x => in O die Steigung m=0 also f'(0)=0 <=> c=0 Somit folgt für die gesuchte Funktion f(x)=ax³+bx² Kurve geht durch (5|25/4): f(5)=25/4 <=> 125a+25b=25/4 <=> 5a+b=1/4 H ist Hochpunkt; also f'(5)=0 => 75a+10b=0 <=> 15a+2b=0 Gleichungssystem: 5a+b=1/4 15a+2b=0 auflösen => b=3/4 und a=-1/10 Funktionsgleichung f(x)=-(1/10)x³+(3/4)x² Nun solltest du dir eine Skizze anfertigen. Dann erkennst du, dass die Kurven zwei Schnittpunkte haben, der eine ist bei x=0, da sie sich dort berühren. Den zweiten durch Gleichsetzen ermitteln. => x2=5 Für die eingeschlossene Fläche folgt dann A1=ò0 5(-(1/10)x³+(3/4)x²-(1/4)x²)dx =int{0,5}(-(1/10)x³+(1/2)x²)dx =|-(1/40)x4+(1/6)x³|50 =|-625/40+125/6|=125/24=5,21 A2=ò5 u(1/4x²+(1/10)x³-(3/4)x²)dx =ò5 u(1/10x³-(1/2)x²)dx =|(1/40)x4-(1/6)x³|u5 =(1/40)u4-(1/6)u³-((625/40)-(125/6)) =(1/40)u4-(1/6)u³+(125/24) Wegen A2=A1 folgt (1/40)u4-(1/6)u³+(125/24)=125/24 <=>(1/40)u4-(1/6)u³=0 <=> u³((1/40)u-(1/6))=0 => u=0 (keine Lösung, da u>5) oder (1/40)u=1/6 <=> u=40/6=20/3=6,67 Mfg K. |
|