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lisette (lisette)
Junior Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 18:13: | 
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hi,
ich habe da ein Problem mit den Polaren und dem Pol eines Kegelschnittes,
dieses Gebiet ist mir noch nicht so recht vertraut:
Man bestimme auf der Geraden g: 9x + 10 y = 39
einen Punkt G so, dass seine Polare bezüglich der Ellipse
9 x^2 + 25 y^2 = 225 parallel zu g ist.
Danke für Hilfe und viele Grüße
lisette
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1990
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 21:08: |
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Hi Lisette,
Die Lösung der Aufgabe wird in vier Einzelschritten vollzogen.
(I)
Wir ermitteln zuerst den Pol G der gegebenen Geraden g bezüglich
der gegebenen Ellipse E.
Die Gleichung der Polaren g bezüglich E mit G(x1/y1) als Pol lautet:
9 x1 x + 25 y1 y = 225.
Soll diese Gerade mit der Geraden g : 9x + 10 y = 39 identisch sein, muss die (fortlaufende) Proportion gelten:
9 x 1 / 9 = 25 y1 / 10 = 225 / 39;
daraus berechnen wir x1 = 5 y1 / 2 = 75 / 13; mithin
x1=xG=75/13, y1= yG = 30/13
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(II)
Nun legen wir die Parallele p zu g durch G.
Der Pol P von p liegt notwendigerweise auf g.
Merke
Liegt ein Punkt G auf einer Geraden p, so geht die
Polare g von G durch den Pol P von p.
(III)
H* sei der unendlich ferne Punkt von p; dann ist
H* auch der unendlich ferne Punkt der Geraden g, da die Geraden p
und g nach Setzung parallel sind.
Nun ermitteln wir die Polare h dieses unendlich fernen Punktes H*.
Nach der Theorie und Praxis des Umgangs mit Polaren ist h eine
Durchmessergerade der Ellipse, also eine Gerade, die durch den Mittelpunkt O der Ellipse geht. Sie lässt sich in unserem Fall als Gerade OG identifizieren.
Begründung:
g geht durch H*, somit liegt G auf der Polaren h von H*. .
Merke:
Geht eine Gerade g durch den Punkt H, so liegt der Pol G von g
auf der Polaren h von H..
(IV).
Die Gleichung der Ursprungsgeraden h := OG lautet:
y = 2/5 x
Der gesuchte Punkt P ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der gegebene Geraden g; die Koordinaten von P sind:
xP = 3 , yP = 6/5.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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lisette (lisette)
Junior Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 05:13: |
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Danke megamath für die Antwort!
Nur komme ich noch nicht ganz mit...
ich muss das noch durchdenken, die Theorie zu diesem Gebiet verwirrt mich ziemlich!
mit freundlichen Grüßen
lisette |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 393
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 17:30: |
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Hi,
es geht auch ohne die zwar schönen, aber hier tatsächlich etwas verwirrenden Sätze der Polarentheorie, denn diese sind normalerweise erst an der Uni Vorlesungsstoff.
Die einzige Formel, die du jetzt dazu wissen musst, ist die Gleichung der Polaren VON einem Pol P bezüglich des Kegelschnittes k, die übrigens der Tangentengleichung IN einem Punkt des Kegelschnittes auf's Haar gleicht (Spaltformel):
P(xP|yP), k: 9x² + 25y² = 225
Polare p: 9*xP*x + 25*yP*y = 225;
deren Steigung m = -9*xP/(25*yP) muss gleich
-9/10 sein, weil sie ja parallel zu g sein soll.
DAS ist schon die erste Beziehung für xP und yP, die zweite gewinnen wir daraus, dass P auf g liegen soll! Somit ist:
1.: -9*xP/(25*yP) = -9/10
2.: 9*xP + 10*yP = 39
--------------------------
1: 2*xP = 5*yP -> in 2.: 13*xP = 39 -> xP = 3; yP = 6/5
--> Pol P(3|(6/5))
Gr
mYthos
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1992
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 21:13: |
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Hi Lisette,
Wenn Du Dich ernsthaft für die Polarentheorie der Kegelschnitte
interessierst, kann ich Dir einige Ratschläge geben.
1.
Am einfachsten bringst Du Dir diese Theorie und die Praxis
beim Kreis bei. Die Rechnungen und insbesondere auch die
Konstruktionen sind hier am einfachsten und durchsichtigsten.
Die Orhogonalität kommt ausgiebig zum Zug.
Zur Vorbereitung brauchst Du Kenntnisse über das
Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden.
Du lernst die Eigenschaften harmonischer Punktgruppen
auf einer Geraden kennen.
Du erinnerst Dich an die Eigenschaften der Spiegelung eines
Punktes an einem Kreis.
Vieles wird Dir bekannt vorkommen.
Schau in (älteren) Geometriebüchern nach, was von diesen
Dingen zum Thema zu finden ist.
2.
Betrachte einen Pol mit der zugehörigen Polaren als Unzertrennliche,
die zusammengehören und zusammenhalten wie Kletten.
Ich habe kürzlich ein Gedicht darüber gelesen.
Bezeichne sie mit demselben lateinischen Buchstaben
den Pol ,als Punkt, mit grossem, die Polare, als Gerade,
mit kleinem Buchstaben.
3.
Studiere gründlich den Begriff der Dualität.
Freue Dich darüber, dass Du mit einem ganz bestimmten Verfahren
aus einem Satz den zugehörigen dualen Satz finden kannst, indem
Du innerhalb eines formulierten Lehrsatzes das Wort Pol durch Polare
ersetzen kannst und umgekehrt, dass das Verb „liegen auf“
durch „gehen durch“ oder „schneiden“ durch „verbinden“
ersetzt werden kann etc.
4.
Gewöhne Dich an Merksätze, die etwa so lauten
Wandert ein Punkt auf einer Geraden a, so dreht sich seine Polare
um den Pol A von a und umgekehrt.
Verbindet man die Pole zweier Geraden, so erhält man die Polare
ihres Schnittpunktes.
Bringt man die Polaren zweier Punkte zum Schnitt, so erhält man den
Pol ihrer Verbindungsgerade.
Das sind klare deutsche Sätze, die keinen Anlass zur Verwirrung
geben sollten, ganz im Gegenteil!*
5.
Erst wenn der Umgang mit Pol und Polaren und den Tangenten
samt Berührungspunkten rechnerisch und auch konstruktiv
sitzt, sollte man zu den Kegelschnitten in der bei diesem Thema
bewährten Reihenfolge Ellipse, Hyperbel , Parabel übergehen.
Da die Kegelschnitte durch Zentralprojektionen aus dem Kreis
hervorgehen und das Doppelverhältnis bei Zentralprojektion
invariant bleibt, gelten die massgeblichen Sätze über
Pol und Polare für alle Kegelschnitte.
6.
Die Beschäftigung mit der Polarentheorie erleichtert Dir das
Verständnis für einen weitern zentralen Begriff bei den
Kegelschnitten.
Gemeint ist der Begriff der konjugierte Durchmesser.
Ich hoffe, dass meine kleinen Bemerkungen Dich anspornen,
dieses interessante Gebiet in Angriff zu nehmen und eingehend
zu studieren.
Ich wünsche viel Vergnügen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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lisette (lisette)
Junior Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Februar, 2003 - 05:14: |
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hi,
danke für Eure Antworten!
Es ist tatsächlich so, dass mich dass alles über den Schulstoff hinaus interessiert - auch wenn es mich im Moment noch recht verwirrt!
ich habe da auch irgendwo ein Gedicht gelesen,
vielleicht meinen wir das selbe:
Die Ballade vom ehrgeizigen Pol
Wie küssten sich beide so innig,
In heißer Liebe entbrannt,
Der Pol und seine Polare,
Auf des Kreises blühendem Rand!
Doch es zog ihn ins Innre des Kreises,
Da ward er gar rasch prominent,
Er glänzte als hohes Polarlicht, -
Doch lebten sie nunmehr getrennt.
Es zog immer mehr ihn zum Zentrum,
Der Ehrgeiz verlockte ihn sehr,
Doch seine schöne Polare
Entschwand ihm mehr und mehr.
Karriere, oh, stolze Karriere!
Bald wurden die Stimmen gezählt;
Da ward er zum Mittelpunkte
Des großen Kreises gewählt.
Doch seine liebe Polare
- Er hatte sie immerhin gern -
War ihm nun ganz entschwunden,
Sie war unendlich fern.
lisette |
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