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Lage von Geraden

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Geraden » Lage von Geraden « Zurück Vor »

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Romy
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 17:49:   Beitrag drucken

Hi Ihr da!

Könnt ihr die folgende Aufgabe lösen!Habe keinen Plan!!???

Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2.Bstimme eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden,falls E1 u. E2 sich schneiden!

E1: 4x+6y-11z=0 E2: x-y-z=0
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Andreas
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 19:39:   Beitrag drucken

Hi Romy!
Die Koordinatengleichungen der beiden Ebenen
bilden zusammnen ein Gleichungssystem:
I 4x+6y-11z=0
II x -y -z=0
x eliminieren, dazu I-4*II bilden:
10y-7z=0
10y=7z
y=7/10z
wähle z=10t
==> y=7t
nach II ist x=y+z=10t+7t=17t
x=17t
y= 7t
z=10t
==> g: x=(0|0|0)+t*(17|7|10)
Der Nullvektor als Stützvektor braucht
nicht geschrieben zu werden, also:
g: x=t*(17|7|10)

Ciao, Andreas
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Romy
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 16:40:   Beitrag drucken

Hi Ihr!
Erst ma dicken Schmatzer an Andreas,dass Du so super schnell geantwortet hast!Werd hier sicher noch oft auftauchen,finde Eure Hilfe echt klasse!

Nächstes Problem:

Untersuch die Lage von g & h!Gib Parameterdarstellung und eine Koordinatengleichung der Ebene durch g & h an,falls g & h nicht windschief und gleich sind!

g: (3/1/5)+r(2/-1/1) h:(7/-1/7)+s(5/0/3)

Bin schon mal so weit,dass ein Schnittpunkt vorhanden ist Ps(17/-6/12) und, dass die Parameterdarstellung der Ebene E:(3/1/5)+r(2/-1/1)+s (5/0/3) lautet!Hoffe nur,dass es stimmt!Nun krieg ich leider nicht ganz die Umformung in eine Koordinatengleichung hin!?
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Andreas
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 18:27:   Beitrag drucken

Hallo Romy!
Dein Schnittpunkt ist leider falsch, er
liegt zwar auf g, aber nicht auf h, wie
du durch Punktprobe feststellen kannst.
Deine Ebenengleichung ist richtig (s. unten)
Vergiss nur das x= nicht

Die Lage zweier Geraden ermittelst du durch
Schneiden, also Gleichsetzen der Geraden:
(3|1|5)+r*(2|-1|1)=(7|-1|7)+s(5|0|3)
Daraus machen wir ein Gleichungssystem
(dazu die Vektoren -bei dir im Heft- zeilenweise lesen):
I 3+2r=7+5s
II 1-r =-1
III 5+r=7+3s
Die Lösung dieses LGS ist einfach, denn
r lässt sich direkt aus II ablesen:
1-r=-1 ==> r=2
Eingesetzt in I ermitteln wir damit s:
3+2r=7+5s
3+4=7+5s
7=7+5s ==> s=0
Zur Probe setzen wir diese Ergebnisse in III
ein:
5+r=7+3s
5+2=7 stimmt also

Damit schneiden sich die Geraden.
Um den Schnittpunkt rauszubekommen,
setzen wir am Besten s in h ein:
(7|-1|7)+0*(5|0|3)
Daraus folgt: S(7|-1|7)

Deine Ebenengleichung, wie gesagt, ist richtig,
um dir die Sache plausibler bzw. anschaulicher
zu machen, hättest du auch den Schnittpunkt
als Stützvektor nehmen können.
Für die Koordinatenform nehme ich jetzt mal
deine Darstellung:

E: x=(3|1|5)+r(2|-1|1)+s(5|0|3)
Eine Koordinatenform sieht allgemein so aus:
ax1+bx2+cx3=d
Was wir daher wieder brauchen, ist ein LGS:
Statt x=(3|1|5)+r*...
kann ich ja auch schreiben (x1|x2|x3)=(3|1|5)+...
Also wieder zeilenweise lesen:
I x1=3+2r+5s
II x2=1-r
III x3=5+r+3s
Aus II erhalten wir: r=1-x2.
Das setzen wir in I und III ein:
(PS: üblicher Weg wäre Gaußalgorithmus,
Eliminationsverfahren genannt,
aber hier liegt ein besonders günstiger Fall vor,
der es einfacher macht)

I x1=3+2(1-x2)+5s=5-2x2+5s |*3
III x3=5+(1-x2)+3s=6-x2+3s |*5
wir berechnen I*3-II*5
3x1-5x3=-15-x2
Alle x auf eine Seite:
E: 3x1+x2-5x3=-15 (hier ohne x=..., weil Koordinatenform)

Deine Ergebnisse kannst du stets durch mehrere
Punktproben prüfen, das ist der Vorteil
bei der Analytischen Geometrie.
Falls dir die Umwandlung in Koordinatenform
noch Probleme macht, sei getröstet:
Du wirst noch ein Verfahren kennenlernen,
mit dem das wesentlich einfacher und schneller
geht (mit dem sogenannten Normalenvektor).

Ciao, Andreas
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Andreas
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 18:34:   Beitrag drucken

Kleiner Nachtrag zum Schneiden von Geraden:
Hätte die Probe durch Einsetzen
von r=2 und s=0 in III
einen Widerspruch ergeben,
z.B. 3=5 oder 7=0,
dann hätte das bedeutet, dass die Geraden
windschief sind oder parallel sind.
Das ließe sich an Hand der Richtungsvektoren
prüfen.
Sind sie Vielfache voneinander ==> parallel
Sind sie es nicht ==> windschief

Eine Widerspruch (z.B. 0=1)
darf nur nicht mit einer
Allgemeingültigen Aussage (z.B. 0=0 oder 4=4)
verwechselt werden.
Ist das Ergebnis im LGS eine Allgemeingültige Aussage, dann sind die Geraden identisch
Ciao, Andreas
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Romy
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Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 19:50:   Beitrag drucken

Hallo!Bin ma wieder da!

Andreas,bis jetzt hab ich deine Schritte immer sehr gut verstanden und hab mich mal an einer Unformung von einer Koordinatengleichung in eine Parameterdarstellung rangemaht!Weiß leider nicht, ob das stimmt, sieht ziemlich komisch aus!

Die Aufgabe heißt: Ebene1 und Ebene2 schneiden sich in einer Gerade, bestimme Parameterdarstellung dieser!

E1: x1-x2+2x3=7 E2: 6x1+x2-x3=-7

nach x2 auflösen:

E1:x=(0/-7/0)+r(1/1/0)+s(0/2/1)
E2:x=(0//0)+r(1/6/0)+s(0/-1/1)

als Gleichungssystem komm ich auf folgendes:
r=r
-7+r+2s=7+6r-s
s=s

>komisch??????Komm nicht weiter!
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Romy
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Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 19:53:   Beitrag drucken

Tschuldige hab noch einen Fehler gemacht!

Verbesserung von E2,wenn nach x2 aufgelöst:
x=(0/7/0)+r(1/6/0)+s(0/-1/1)
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Andreas
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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 15:37:   Beitrag drucken

Hallo Romy!
Du hast eine recht häufigen Fehler gemacht.
Du hast für beide Ebenen die selben
Paramter r und s verwendet.
Du musst z.B. bei der einen Ebene r und s,
bei der anderen u und v benutzen.
Ansonsten ist deine Rechnung zwar richtig,
jedoch ein Umweg.
Sind die Ebenen in Koordinatenform,
so bilden ihre Gleichungen ein LGS:
I x1-x2+2x3=7
II 6x1+x2- x3=-7
Wir addieren I und II, um x2 zu eliminieren:
7x1+x3=0
7x1=-x3
x1=-1/7*x3
Setze x3=7t,
dann ist x1=-t
II nach x2 aufgelöst:
x2=-7-6x1+x3
=-7+6t+7t=-7+13t

x1= -t
x2=-7+13t
x3= 7t

Daraus lässt sich ablesen:
g: x=(0|-7|0)+t*(-1|13|7)

Ebenen lassen sich natürlich auch in Parameterform
schneiden. Schau dir mal ein Beispiel in deinem
Buch dazu an.

Ciao, Andreas
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romy
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 17:42:   Beitrag drucken

Hallo!
Hab ein großes Problem!Schreib morgen Mathe Klausur und hab heut noch Aufgaben bekommen,die ich morgen beherrschen muß!Ist es möglich,dass jemand mir die Lösung noch heut zurücksendet?Wäre echt lieb!

Gegeben sind die Punkte P(2/3/4),A(6/4/0),B(1/4/0),C(1/1/4),D(6/1/4)
sowie die Ebene E:x=(1/3/-1)+r(1/2/0)+s(1/1/-1)

1.Bestimme die Größe des Winkels zwischen Vektor PA und PB.
2.Weise nach,dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist .
3.Ermittle die Gleichung einer Geraden g,die auf der Ebene E senkrecht steht und den Punkt P enthält.
4.Bestimme den abstand des Punktes P von der Ebene
5.Das Quadrat aus 2. ist die Grundfläche einer geraden Pyramide mit dem Volumen V=75.
a)Berechne die Koordinaten der Pyramidenspitze S.
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Andreas
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 11:04:   Beitrag drucken

Hallo Romy!
1.)
Winkel berechnet man nach der Formel:
cos a=(|u*v|)/(|u|*|v|),
wenn u und v die Vektoren sind, die deren
Winkel berechnet werden soll.
Der Vektor PA=(4|1|-4), PB=(-1|-1|-4)
|PA*PB|=|-4-1+16|=|11|=11
|PA|=Wurzel(16+1+16)=Wurzel(33)
|PB|=Wurzel(1+1+16)=Wurzel(18)
In die Formel einsetzen:
cos a=11/(Wurzel(33)*Wurzel(18))
=11/Wurzel(594)=11/(3*Wurzel(6*11)
=Wurzel(11)/(3*Wurzel(6))
Dafür berechnest du mit dem Taschenrechner
einen Näherungswert, und tippst dann
Invers-Cosinus, Arkuscosinus, cos-1,
oder wie immer das bei dir heißt.
Der Taschenrechner muss dabei auf DEG
eingestellt sein.
2.)
Was ist ein Quadrat?
Ein Quadrat ist ein Viereck mit 4 gleich langen
Seiten, die 4 rechte Winkel einschließen.
Daher musst du zeigen: |AB|=|BC|=|CD|=|DA|
und AB*BC=0
3.)
Berechne den Normalenvektor n der Ebene E
aus den Bedingungen u*n=0 und v*n=0,
wenn u und v die Spannvektoren der Ebene sind.
Den erhaltenen Normalenvektor nimmst du dann
als Richtungsvektor der Geraden,
den Punkt P als Stützvektor.
4.)
Schneide die Gerade aus 3.) mit der Ebene.
Der Betrag des Vektors PS ist dann der Abstand,
wenn S der Schnittpunkt von Gerade und Ebene ist.
5.)
Die Formel für das Volumen einer Pyramide ist:
V=G*h/3, G ist die Grundfläche, h die Höhe.
Die Grundfläche haben wir, denn das ist einfach
z.B. |AB|*|BC|, das Volumen ist gegeben.
Lösen wir die Formel nach der Höhe auf:
h=3*V/G. Durch Einsetzen erhalten wir die Höhe
der Pyramide.
Dann brauchen wir den Mittelpunkt der Grundfläche.
Das ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Schließlich noch den Normalenvektor n der
Ebene berechnen, auf der die Punkte ABCD liegen.
Daraus den Normalen-Einheitsvektor n0 nach
der Formel n0=n/|n| bestimmen,
den Normalenvektor n0 mit der errechneten Höhe
h multiplizieren.
Als Letztes dann noch diesen Vektor h*n0
zum Ortsvektor des Mittelpunktes einmal dazuzählen,
und einmal abziehen, denn die Pyramide kann
sowohl nach unten, als auch nach oben zeigen.
Das Ergebnis ist dann endlich die Spitze S
(für die es wie gesagt 2 Möglichkeiten gibt).

Ciao, Andreas

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