| Autor |
Beitrag |
    
nicole
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 10:58: | 
|
hallo!
wir haben eine schwierige aufgabe bekommmen, wir sollen ein lösungsverfahren zur berechnung des abstandes windschiefer Geraden finden.
der haken an der sache ist, es darf nicht über das lotfußpunktverfahren und über das kreuzprodukt gemacht werden.
ich hoffe ihr könnt mir helfen! viele liebe grüße nicole |
Cooksen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 17:42: |
|
Hallo Nicole!
Man könnte eine Ebene bestimmen, in der eine der beiden Geraden liegt und die parallel zu der anderen Geraden ist. Dann entspricht der Abstand eines Punktes der zweiten Geraden von der Ebene dem Abstand der beiden Geraden.
Lösungsverfahren: (Vektoren sind fettgedruckt.)
Gegeben sind die beiden Geraden in Parameterform
g: x = a + r*u und
h: x = b + s*v.
Als Richtungsvektoren der Ebene benutzt Du die Richtungsvektoren der Geraden u und v. Der Punkte A (Ortsvektor a) ist der Stützpunkt für die Ebene.
E: x = a + r*u + s*v
Dann liegt g in E, und h ist parallel zu E.
Nun muss nur noch der Abstand irgendeines Punktes von h (zum Beispiel Punkt B) zur Ebene E berechnet werden etwa mithilfe der Hesseschen Normalenform.
Gruß Cooksen |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 21:54: |
|
Hi nicole,
Es gibt auch eine Methode, die ausser der Abstandsformel ohne
Vektorgeometrie auskommt.
Wir fassen die Aufgabe auf als ein Extremalproblem einer
Funktion F(s,t) zweier Veränderlicher s , und t.
Ich zeige das an einem numerischen Beispiel:
Die Gerade g hat die (skalaren) Parametergleichungen
x = - 1 + 3 t , y = 3 – 2 t , z = 4
P(x/y/z) sei der laufende Punkt auf g , t der Parameter.
Die Gerade h hat die (skalaren) Parametergleichungen
x = 1 - 3 s , y = 8 + 4 s , z = - 1 + s .
Q(x/y/z) sei der laufende Punkt auf h , s der Parameter.
Mit den konventionellen Lösungsmethoden bekommt man
folgende Resultate:
kürzester Abstand d = 7
Fusspunkt auf g: Po (2/1/4)
Fusspunkt auf h: Qo(4/4/-2)
Die Verbindungsgerade t von Po und Qo ist die so genannte
Minimaltransversale; sie steht sowohl auf g als auch auf h senkrecht.
Extremalaufgabe
Wie sind t und s zu wählen, damit der Abstand a der beiden
laufenden Punkte P und Q auf g bezw. h minimal ist ?
Wir berechnen das Quadrat F = a^2dieses Abstandes mit der
bekannten Formel
(Quadratsumme gleichnamiger Koordinatendifferenzen):
F = F(s,t)= (2-3s –3t)^2 +(5 + 4s +2t)^2 +(-5 +s)^2 =
= 26 s^2 + 13 t^2 + 34 s t +18 s + 8 t + 54
Zur Berechnung der Extremalstellen bilden wir die partiellen
Ableitung F1 von F(s,t) nach s und F2 von F(s,t) nach t
und setzen diese einzeln null; es kommt:
F1 = 52 s + 34 t + 18 = 0
F2 = 34 s + 26 t + 8 = 0
Die Lösungen dieses Gleichungssystems lauten:
s = - 1 , t = 1.
Mit diesen Werten erhalten wir die oben erwähnten Fusspunkte
Po auf g ( t =1 setzen ) und Qo auf h ( s = -1 setzen ).
Der Rest ist Routine!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
