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Lionel Winkelmann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Februar, 2000 - 14:26: | 
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Hallo !
Wer kann mir helfen, ein Integral zu berechnen in Form einer Steckbriefaufgabe ?
Für welches a aus der Menge der reellen Zahlen > 0 hat die Fläche zwischen G (f) und G(g) den größten Inhalt, wobei f(x)= a*x^2 - a*x und g(x)= (-a*x^2)+(x/a)?
Ich bräuchte am besten heute noch Hilfe ! VIELEN DANK !!!!!!!!!!!! |
Armin Heise
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Februar, 2000 - 19:18: |
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Lösungsweg:
beachte : alle Resultate können von a abhängen
1. Definiere h(x) = f(x) - g(x) für alle x
2. Rechne die Nullstellen von h aus
3. Berechne von einer Nullstelle bis zur jeweils nächsten Nullstelle das Integral von h und ändere das Vorzeichen, falls es negativ sein sollte.
4. Definiere J(a) = Summe der bei 3. erhaltenen Teilresultate
5. Untersuche J(a)auf Lokale Extrema genau, wie Du es üblicherweise bei einer Funktion f machst.
6. Wenn Du hierbei ein a findest, für das J ein lokales Extremum hat, ist dies Dein gesuchtes a.
( Hierbei benutzt Du das a in einem offenen Intervall liegt )
Hoffentlich kommst Du hiermit weiter.
Armin |
OliverK
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. März, 2000 - 19:06: |
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Hallo,
nach vielem Hin und Her nun endlich eine Lösung.
Die Aufgabe ist in der Tat sehr aufwendig. Sie füllt ca. 2 1/2 Din A4 - Zettel (QUER!)
Der Grund ist der, das man leider nichts, aber auch gar nichts vereinfachen kann. Besonders das lineare Glied x/a von g(x) ist unangenehm.
Nach einigem Umformen stößt man auf eine gebrochenrationale Funktion 10. Grades, die man allerdings durch Kürzen auf den 6. Grad "drosseln" kann. (1. Ableitung).
Es war eine Überraschung, das nach all den abenteuerlichen Termen eine wirklich schöne Gleichung sich offenbart:
A'(a)=0
0 = a6-9a4-9a2+(3/8)
Mit der Newton-Raphson Iteration erhält man dann ein a0 von 3,140625. |
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