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Laura (Ninja03)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 18:39: | 
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gegeben ist die Funktionenschar mit der Gleichung
f(x)=(2x+a)*e^-x/a
, zeige dass alle Extrempunkte der Graphen von f(x) auf einer Geraden g liegen. und bestimme die Gleichung dieser Geraden.
(Ich hab ja schon Probleme damit die ABleitungen zu machen)
Zeige außerdem,daß alle Wendetangenten t der Graphen f(x) zueinander parallel sind und bestimme die Gleichung vin t.
Bitte helft mir.
Grüße
Laura |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 12:30: |
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Hallo Laura!
Die Funktion musst du mit der Produktregel ableiten und erhälst dann:
fa'(x)=(-2x+a)*e-x/a/a und dementsprechend die 2. Ableitung:
fa''(x)=(2x-3a)*e-x/a/a²
für a¹0
Jetzt liefert das Null setzten der 1. Ableitung Extremstellen bei x=a/2 mit dem zugehörigen y-Wert y=2*e-0,5*a, den du erhälst, wenn du x=a/2 in fa(x) einsetzt. Für a < 0 sind das Tiefpunkte und für a > 0 Hochpunkte, was man mit der 2. Ableitung überprüfen kann. Wenn man x=a/2 einsetze, erhält man: fa''(a/2)=-2*e-0,5/a
Die Extrema haben die Parameterdarstellung E=(a/2|2*e-0,5*a). Nun forme ich x=a/2 nach a um und setze a=2x in y=2*e-1/2*a ein und erhalte y=4*e-0,5*x, was offensichtlich eine Ursprungsgerade mit der Steigung m=4*e-1/2 ist.
Die Wendepunkte haben die Darstellung W=(1,5a|4*e-1,5*a)
Die 1. Ableitung in dem Wendepunkt gibt die Steigung m der Wendetangenten an:
m=fa'(1,5a)=-2*e-1,5
Der Achsenabschnitt b der Tangente berechnet sich wie folgt:
b = yw - m*xw
b = 4*e-1,5*a-(-2*e-1,5)*1,5a
b = 7*e-1,5*a
Also lautet die Tangentengleichung
y = -2*e-1,5*x - 7*e-1,5*a und da die Steigung konstant ist, also nicht von dem Parameter a abhängt, sind alle Wendetangenten parallel.
Viele Grüße Toby |
Laura (Ninja03)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 11:47: |
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Hi Toby,
danke für die Hilfe. Ich bin deine Rechnung durchgegangen und versteh eigentlich auch alles,außer die Ableitungen, ich hab irgendwie voll die Probleme die Ableitungen von diesen In-Funktionen zu machen, kannst du mir vielleicht einen Tip geben?
viele Grüße
Laura |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 13:22: |
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Hallo Laura,
auch wenn das nicht so wichtig ist: Funktionen mit e sind e-Funktionen, keine ln-Funktionen ;-)
Für eine Funktion f(x) = eg(x), wobei g(x) wieder eine differenzierbare Fkt. ist, gilt folgende Ableitungsregel: f'(x) = g'(x)*eg(x), bei unserem Beispiel f(x) = e-x/a ist f'(x) = -1/a*e-x/a
Die Funktion f(x) = (2x+a)*e-x/a muss nach der Produktregel (fg)'=f'g + g'f abgeleitet werden:
f'(x)=2*e-x/a - 1/a*e-x/a*(2x+a) | ausklammern von e-x/a/a
f'(x)=e-x/a/a * (2a-(2x+a))
und somit ist
f'(x) = (-2x+a)*e-x/a/a , was du wieder mit der Produktregel ableiten musst, um f''(x) zu erhalten:
f''(x) = -2*e-x/a/a - 1/a*e-x/a/a*(-2x+a)
f''(x) = -2/a * e-x/a - 1/a²*(-2x+a) * e-x/a | ausklammern von e-x/a/a²
f''(x) = e-x/a/a² * (-2a-(-2x+a))
und folglich ist
f''(x) = (2x-3a) * e-x/a/a²
Viele Grüße Toby |
Laura (Ninja03)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 18:49: |
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Hey,dankschön,aber ich hab noch eine letzte Frage..
wieso hast du den Wert a=2x in den y-Wert der Extrema eingesetzt? Ich versteh nicht was dir das bringen soll?
Danke für die ganze Hilfe
viele Grüße
Laura |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. November, 2001 - 09:47: |
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Hi Laura,
die Extrema haben als y-Koordinate eine Funktion in Abhängigkeit von a: f(a)=2*e-0,5*a; will ich diese aber in das gleiche x-y-Koordinatensystem zeichnen, wie die Funktionenschar, so muss ich a durch x ausdrücken, und deshalb forme ich die x-Koordinate nach a um und setze das Ergebnis a=2x für das a in f(a) ein.
Viele Grüße Toby |
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