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Marina
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 21:35: | 
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Hallihallo!
Habe hier eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme!
Aufgabe: Bestimme alle Vektoren, die sowohl mit Vektor (1, 2, 3) einen Winkel von 60° als auch mit Vektor (2, 0, 1) einen Winkel von 90° bilden.
Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!
Ciao, Marina! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 12:16: |
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Hi Marina,
Wir benützen die bekannte Formel zur Berechnung des
Winkels phi zweier Vektoren a und b:
cos ( phi ) = [ a .b ] / [ abs(a ) * abs (b ) ]....................(F)
Im Zähler steht das skalare Produkt der Vektoren ,
im Nenner das Produkt der Absolutbeträge.
Für den unbekannten Vektor u setzen wir
die erste Koordinate x, die zweite y und die dritte
im Sinne einer Normierung z = 1 an., also:
u Vektor = { x ; y ; 1 }
Für die Unbekannten x und y können wir zwei
Gleichungen anschreiben, nämlich:
2 x + 1 = 0 ......................................................................(1)
[x+2y+3 ] / [wurzel (x^2+y^2+1) * wurzel (14)] = ½....(2)
Gleichung (1) berücksichtigt die Tatsache, dass der Vektor u
auf dem Vektor { 2; 0; 1 }senkrecht steht
Gleichung (2) beruht auf der Formel (F) ; sie bezieht sich
auf den Vektor u und den Vektor { 1 ; 2 ; 3 }
Auf der rechten Seite steht cos(60°) = ½ .
Aus Gleichung (1) folgt x = - ½ ; setzt man dies in
Gleichung (2) ein, quadriert und vereinfacht, so
erhält man eine quadratische Gleichung für y:
4 y ^ 2 + 80 y + 15 = 0 mit den Lösungen
y1 = - 10 + wurzel(90) ~ - 0,51
y2 = - 10 - wurzel(90) ~ -19,49
Daraus entspringen zwei Lösungsvektoren u1 und u2 ,
die sich nur in den y-Koordinaten unterscheiden;
x-Koordinate je - ½, z-Koordinate je 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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