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Mya
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 20:32: | 
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Hallo,
ich verzweifel noch daran.
Wie beweist man den Kathetensatz mit dem Skalarprodukt??
Welche Sätze lassen sich noch mit dem Skalarprodukt beweisen, außer Höhensatz und Pythagoras?
Jetzt schon mal Danke.
Mya |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 22:35: |
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Hi Mya,
Bezeichnungen :
Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck mit den Ecken A,B,C ;
rechter Winkel bei C.
Der Punkt F (auf der Hypotenuse) sei der Fusspunkt der Höhe zur
Hypotenuse.
a = BC , b = AC sind die Katheten , AB = c die Hypotenuse
Die Seitenvektoren sind die Vektoren
u (von C nach B), v (von A nach C ), w (von B nach A) ,
Als Höhenvektor figuriert der Vektor h (von F nach C)
Der Vektor von B nach F sei mit r bezeichnet , sein
Betrag stimmt mit dem der Kathete a anliegenden .
Hypotenusenabschnitt p überein.
Die Vektoren u , v , w bilden eine geschlossene Vektorkette
Es gilt: CB + BA + AC = o (rechts steht der Nullvektor) ,
also gilt
u + w + v = o...................................................................................(1)
Ebenso bilden die Vektoren a , r und h eine geschlossene
Vektorkette.
Es gilt CB + BF + FC = o ( wiederum o als Nullvektor),mithin:
u + r + h = o......................................................................................(2)
Da das Dreieck bei C rechtwinklig ist , verschwindet
das Skalarprodukt der Vektoren u und v , somit
u . v = 0 (rechts steht die skalare Null)...............................................(3)
Da die Höhe FA auf AB senkrecht steht, verschwindet auch das
Skalarprodukt der Vektoren h und w :
h . w = 0..................................................................................................(4)
Damit sind alle Vorbereitungen getroffen, und die eigentliche
Herleitung des Kathetensatzes kann losgehen .
Ziel: wir erbringen den Nachweis, dass gilt:
a ^ 2 = c * p .............................................................................................(5)
Beweis
Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung (2) skalar
mit dem Vektor w :
es kommt:
u . w + r .w + h . w = 0
wegen (4) erhalten wir einfacher:
u . w + r . w = 0
ersetze in dieser Gleichung gemäss (1) w durch - u - v :
u . ( - u - v ) + r. w = 0; es entsteht
- u ^ 2 - u . v + r . w = 0 , wegen (3) vereinfacht sich dies zu
- u ^ 2 + r . w = 0 oder
u ^ 2 = r .w ; nach der Definition des Skalarproduktes stimmt dies mit
der Aussage überein:
a ^ 2 = p * c* cos 0 = p * c (Beachte: der Winkel der Vektoren r und w ist null )
damit ist der Kathetensatz in der Form (5) bewiesen.
Mit ähnlichen Methoden lassen sich beweisen
der Satz von Thales und der Sinussatz
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Mya
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. September, 2001 - 11:48: |
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Danke für die gute Erklärung!
Mya |
superssj
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 19:25: |
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ähm....moser, ich halte deinen beweis für unüblich und auch nicht besonders elegant...
denn wo bekommst du das |*w her....du zauberst das quasi aus dem nichts.....und sowas ist unüblich und auch nur als letzter ausweg zu versuchen.....soweit meine meinung
und auch mit der vektorkette anzufangen ist ungewöhnlich......bei anderen beweisen wird eine seite der gleichung vorausgesetzt und die anderen solange umgeformt bis alles passt...
nun zu meinem vorschlag zu einer lösung, wobei es natürlich mehr als eine hand voll verschiedene beweismöglichkeiten mit hilfe des skalarproduktes gibt..
AB=c, BC=a, AC=b, Höhe=HC: schnittpunkt mit Hypotenuse = H), zu b zugehöriger hypotenusenabschnitt = q, zu a zugehöriger hypotenusenabschnitt = p
a^2=a*a
a^2=(-p+h)*(-c+b) |mit einer skizze werden die unterschiedlichen möglichkeiten a auszudrücken deutlich (vorausgesetzt ihr wählt die von mir gewählte beschriftung des dreiecks mit den entsprechenden richtungen der vektoren)
a^2=p*c-p*b-c*h+h*b |da c*h=0 entfällt dies
a^2=p*c-p*b+(p+a)*b |h wird durch p+a ausgedrückt
a^2=p*c-p*b+p*b+a*b |da a*b=0 entfällt dies und -p*b+p*b hebt sich weg
--> a^2=p*c
das wars von mir.....noch fragen? dann postet
bye |
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