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Thorsten (monsgrat)
Junior Mitglied Benutzername: monsgrat
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 11:17: |
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Kann mir jemand die Eulerische Differentialgleichunf erklären bzw. einen Link zur einer erklärenden Seite. Danke im vorraus Thorsten |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 200 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 23:30: |
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Hi, das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Ein interessanter Link ist http://www.s-line.de/homepages/keppler/brachy.htm Gr mYthos
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1884 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 07:54: |
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Hi, Kollege mYthos hat nächtens Dir bereits einen nützlichen Hinweis zur Eulerschen Differentialgleichung (E-Dgl.). gegeben. Im Folgenden stelle ich Dir die allgemeine E-Dgl. zweiter Ordnung samt Lösungsgalerie vor. Diese Dgl. lautet so: x ^ 2 * y ´´ + a x * y´ + b y = 0 ; a und b sind gegebene Konstanten. Massgeblich für den Lösungstyp und die Lösungen selbst sind die Terme: D = ( a – 1 ) ^ 2 - 4 b (Diskriminante einer charakteristischen Gleichung) m = ½ * wurzel D ( m wie megamath ! ). Zur Abkürzung wird noch A = ½ * ( 1 - a) gesetzt Es sind drei Fälle zu unterscheiden 1.Fall D > 0 allgemeine Lösung: y = x ^A * [ C1 x^m + C2 x ^(-m)¨¨ 2.Fall D = 0 allgemeine Lösung y = x ^A * [ C1 + C2 * ln (x) ] 3.Fall D < 0 allgemeine Lösung: y = x ^A * [ c1 sin (m * ln x) + C2 cos (m * ln x ) ] C1 und C2 sind Integrationskonstanten, Die Variable x gehört überall in Absolutstriche eingezäunt. Lösungshinweis Verwende die Substitution x = e ^ z Die unabhängige Variable x wird durch die unabhängige Variable z ersetzt Du erreichst dadurch, dass die Dgl in eine solche mit KONSTANTEN Koeffizienten übergeht. Bestätige das selbst ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Thorsten (monsgrat)
Junior Mitglied Benutzername: monsgrat
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 14:49: |
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Hi, Vielen Dank für eure Antworten Thorsten |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1885 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. November, 2002 - 14:21: |
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Hi, Ich bin gebeten worden, die Lösung der Eulerschen Dgl. x ^ 2 * y ´´ + a x * y´ + b y = 0 ; mit a,b als Konstanten. noch etwas näher auszuführen. Gerne komme ich diesem Wunsch entgegen. Die von mir angegebene Substitution x = e ^ z ( z = ln x) führt direkt zum Ziel !. Dabei wird die unabhängige Variable x durch die unabhängige Variable z ersetzt. Die gesuchte Funktion ist jetzt Y = Y(z) Wir erreichen durch diese Substitution, dass die Dgl in eine solche mit konstanten Koeffizienten übergeht. Zuerst müssen wir die Ableitungen transformieren. Benütze dabei: dz /dx = 1/x und unter Rubrik 2 die Produktregel: 1. y ’ = dy / dx = dy /dz * dz /dx = Y ‘ * 1/x °°°°°°°°°° 2. y ‘’ = d [dy/dx] / dx = d [dy/dx] / dz * dz/dx = [Y ‘’ * 1/x + Y ‘ {- e^(-z) } ] * (1/x) Mit e^(-z) = 1 / x kommt: endgültig: y ´´ = (1/x) ^2 * [ Y ´´- Y ] °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Setzt man dies in die gegebene Dgl. ein, so kommt: Y ´´ - Y ´ + a * Y ´ + b * Y = 0 , oder Y ´´ + ( a – 1 ) Y ´ + b * Y = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Alle Koeffizienten sind konstant ! Es liegt eine homogene lineare Dgl. zweiter Ordnung vor Die charakteristische Gleichung lautet: k ^ 2 + ( a – 1 ) * k + b = 0 Die Diskriminante D dieser quadratischen Gleichung in k lautet: D = ( a – 1 ) ^ 2 - 4 b , in Uebereinstimmung mit den Angaben in meiner früheren Arbeit. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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