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verzweifelt
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juli, 2001 - 07:56: |
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Wer kann mir helfen zu beweisen, dass ln(x)< wurzel(x) ist? |
mrsmith
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juli, 2001 - 09:37: |
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ich denke, dass es so am besten geht: beide funktionen werden abgeleitet: d/dx(ln(x)) = 1/x d/dx(sqrt(x)) = 1/(2*sqrt(x)) beide ableitungen sind positiv fuer x > 0, (was ja sowieso gelten muss). nun gilt: 1/x < 1/(2*sqrt(x)) gdw (genau dann wenn) (multiplikation mit 2*x>0) 2 < sqrt(x). d.h. fuer x > 4 ist die ableitung der wurzel stets groesser als die ableitung des ln. fuer x < 4 gilt umgekehrt 1/x > 1/(2*sqrt(x)). wir betrachten nun die funktion g(x) := sqrt(x) -ln(x), die den abstand der beiden funktionen angibt. sie hat nach dem vorhergehenden bei x=4 ein absolutes minimum. fuer g(4) gilt aber g(4) = 2 -ln(4) > 0. damit ist der abstand der beiden funktionen stets groesser 0 und bei x=4 ist wurzel(4) > ln(4). (der haken bei der sache ist, dass man ln(4) nicht elementar bestimmen kann.) viele gruesse mrsmith |
Ingo (Ingo)
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juli, 2001 - 02:32: |
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Zum vermeindlichen "Haken" : Man brauch doch ln(4) garnicht exakt berechnen. Es genügt die einfache Abschätzung ln(4)=2ln(2)<2ln(e)=2=Ö4 |
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