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Geri
| Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 12:24: |
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Hallo Leute ,hab ein Problem mit einer Diff. Aufgabe Die laut so: Lösen sie die Diff. y'=(x+2y+3)/(2x-y-4) indem Sie zunächst X=x-1 und Y=y+2 substituieren. ((1,-2) ist der Schnittpunkt der Geraden x+2y=-3 und 2x-y=4) Danke! Geri |
H.R.Noser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 09:17: |
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Hi Geri, Die Hauptarbeit besteht darin, die transformierte Dgl. mit Grossbuchstaben X und Y für die neuen Variablen zu lösen Diese DGL. lautet : Y ' = ( X +2Y) / (2 X - Y ) = [1 + 2 Y/X)] / [2 - Y/X ] Sie ist homogen und legt daher die Substitution Y / X = U nahe. Aus Y = X * U folgt durch Ableiten nach x: Y ' = U + X U ' ; setzen wir diese Dinge in die DGL. ein, so kommt: U + X U ' = (1 + 2 U) / (2 - U ), also : X * U ' = (1+2U) / (2-U) - U = (1+U^2) / (2-U),somit U ' = 1 / X * [( 1+U^2 ) / ( 2 - U )] Die Variablen X und U können getrennt werden (2 - U) / (1+U^2) * dU = 1 / X * dX oder: 2 * 1 / (1+U^2) * dU - ½ * 2 * U / (1+U^2) *dU = 1/X * dX Integriert: 2*arc tan U - ½ *ln (1+U^2) = ln ( c * X), mit c als Integrationskonstante Umformung: 2*arc tan U = ln [c *X * wurzel(1+U^2)] oder: c*X*wurzel(1+U^2) = e ^ [2* arc tan U], also mit 1/c = C:: X= C / wurzel(1+U^2) * e ^[ 2* arc tan U] Nun setzen wir U = Y/X und erhalten: X = C * X / wurzel (X^2+Y^2) * e ^ [2* arc tan (Y/X) ] In dieser Gleichung ist X durch x-1 und Y durch y+2 zu ersetzen, um eine Lösung der ursprünglichen DGL. zu erhalten. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 09:43: |
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Hi Geri, Zusätzliche Bemerkungen. 1.) Im Schlussresultat kann X auf beiden Seiten weggehoben werden. 2.) Es ist erfreulich und auch beruhigend,dass das Computeralgebra-System Maple das gleicheResultat ausgibt. Die Eingebe lautet: G:=diff(Y(X),X)=(X+2*Y)/(2*X-Y); dsolve(G,Y(X)); 3) Die Transformation von "Moser" zu "Noser" war ungewollt und soll jetzt rückgängig gemacht werden. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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