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Sonja (Kastin)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 13:08: | 
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Hallo! Folgende kleine Aufgabe, die ich zu bewältigen habe:
es ist gezeigt worden, dass im dreidimensionalen Raum das
Volumen eines Parallelfachs (Spat)=det a,b,c ist.
Zeige nun,
a) ob die Behauptung stimmt, dass im zweidimensionalen Raum die Fläche eines von Vektor a und b aufgespannten Parallelogramms
A=det a,b ist, und
b) dass im n-dimensionalen Raum allgemein gilt, dass das ?=det a,b,c,d,e,... ist.
Kann da jemand was mit anfangen? Würde mich sehr freuen... |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 01:07: |
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Hallo Sonja,
eine nette 'kleine' Aufgabe hast du da. Ich vermute, dass beide Behauptungen stimmen. Warum?
a) Ergaenze den zweidimensionalen Raum, mit anderne Worten: die Flaeche, durch eine dritte Achse und die Vektoren a und b durch den Vektor c mit c=(0;0;1). (Wegen der einfachen Schreibung gehe ich hier mal von Zeilenvektoren aus.) Dann gilt det(a;b;c)=det(a;b), die dritte Komponente von a und b ist dabei Null gesetzt. Der Spat (a;b;c) hat aber einen Rauminhalt gleich dem Produkt aus der Flaeche des Parallelogramms (a;b) und der Laenge (=1) des darauf senkrecht stehenden Vektor c. Also ist det(a;b) gleich der Flaeche des Parallelogramms.
b) Der allgemeiner Fall ist schwieriger, da die Gedankenfuehrung abstrakter sein muss. Ich gehe davon aus, dass du einige Eigenschaften von Determinanten kennst.
Fuer einen Wuerfel, der aus lauter Basisvektoren der Laenge Eins aufgespannt wird, gilt die Formel.
Da die Determinate eine Multilinearform ist, kann ich eine ihrer Zeilen mit einem Faktor multiplizieren, das Ergebnis ist dasselbe, als wenn ich die Determinante mit diesem Faktor multipliziert habe. Fuer einen Quader gilt damit die Formel auch.
Ich kann zu einer Zeile der Determinante eine andere Zeile addieren, multipliziert mit einem beliebigen Faktor, ohne den Wert der Determinante zu aendern. Diese arithmetische Opertion ist analog zu 'Verschiebung' der Seiten des Quaders gegeneinander. In zwei Dimensionen sieht man, dass ein Paralelogramm flaechengleich mit einem Rechteck gleicher Grundseite und Hoehe ist. Damit ist Behauptung b) 'gezeigt'.
Gruß,
Peter |
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