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Jesse
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 16:50: |
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Benötige dringend für meine Facharbeit INFOS zur Leipnizschen Sektorformel. Sowohl über die Herleitung als auch über das, was sie eigentlich darstellt... |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 22:13: |
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Hi Jesse, Zur Sektorformel von Leibniz Als Vorbereitung leiten wir eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts F eines Dreiecks OAB (diese Reihenfolge der Ecken) her. Ein orthonormiertes (x.y) -Koordinatensytem mit Ursprung O ist mit einem Polarkoordinatensystem (r, alpha ) auf die übliche Art verknüpft : Die x-Achse ist die Polarachse, der Nullpunkt O der Pol. O ist der Nullpunkt des Koordinatensystems Daten: O :Nullpunkt A: rechtwinklige Koordinaten xA , yA Polarkoordinaten : rA,alpha B :rechtwinklige Koordinaten xB , yB Polarkoordinaten.: rB , beta Phi : orientierter Innenwinkel bei O im Dreieck OAB Es gilt: phi = alpha - beta. Nach einem bekannten Satz der Trigonometrie erhält man für die doppelte Fläche des Dreiecks OAB: 2 * F = rA* rB * sin (phi) = rA * rB * sin(alpha -beta) Anwendung des Subtraktionstheorems des Sinus führt auf: 2 * F = rA * rB* [sin(alpha) * cos(beta) - cos(alpha ) * sin(beta)] = rA * cos(alpha)* rB * sin(beta) - rA * sin(alpha) * rB * cos (beta)= = xA * yB - yA * xB . Formal stellt das Resultat eine zweireihige Determinante dar; in der ersten Zeile stehen die Koordinaten xA ,yA des ersten Punktes (A), in der zweiten Zeile die Koordinaten des zweiten Punktes (B) ; (Zählung ohne Punkt O) Nun gehen wir zur Integralrechnung über. Die Fläche A , die wir berechnen möchten, sei von einer geschlossenen Kurve begrenzt. P(x/y) , Q(x + delta x / y + delta y) seien zwei benachbarte Punkte auf der Kurve. Nach der Vorbereitung ist dann die Fläche delta A des Dreiecks OPQ: delta A = ½ * [x * ( y +delta y ) - y* ( x + delta x ) ] = ½ * ( x * delta y - y * delta x ) . Dabei wird die Fläche positiv, wenn das Dreieck OPQ positiv, d.h. im Gegenuhrzeigersinn , orientiert ist; andernfalls wird die Fläche negativ. Durch eine Summation über C und Ausführung des Grenzübergangs bekommt man als Fläche A: A= ½ int [(xdy - y dx)]; dabei erstreckt sich das Linienintegral, auch Umlaufintegral genannt, über die geschlossene Kurve C. Durch Parametrisierung der Kurve C mit x = x(t) , y = y(t) erhält man die Form: A = ½ * int [ (x y' - x' y)* dt] ; die Striche werden in der Regel als Punkte geschrieben und bedeuten Ableitungen nach dem Parameter t . Beispiel: Fläche A der Ellipse x = a cos t , y = b sin t im Bereich 0 < = t < = 2*Pi: A = ½ * int [a * b * {cos^2t +sin^2t}* dt ] untere Grenze 0 , obere Grenze 2*Pi; Resultat A = Pi * a * b. wie es sein muss ! Bericht zum Polarplanimeter folgt später. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath . |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 22:37: |
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Hi Jesse, Damit Du mit der altehrwürdigen Sektorformel von Leibniz (1646-1716) besser vertraut werden kannst, zeige ich Dir eine weitere Anwendung: Berechnung der Fläche A eines Hyperbelsektors Implizite Hyperbelgleichung: b^2 * x^2 - a^2 * y ^2 = a^2 * b^2 Parameterdarstellung des Astes im I. und IV. Quadrant: x = a cosh t , y = b sinh t Ableitungen : x' = a sinh t , y ' = b cosh t Sektorfläche S von P1 mit t = t1 bis P2 mit t = t2 : S = Sektorfläche O P1 P2 = ½ * ab* int [ {(cosh (t))^2 - (sinh (t))^2 } * dt] untere Grenze t1 , ober Grenze t2 Resultat : S = ½ * ab* (t2 - t1) Beachte: (cosh (t) )^2 - ( sinh (t) )^2 = 1. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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