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Michael (Bigb)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 17:32: |
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Hallo Ihr da! Ich habe da mal eine dringende Frage zu einer Hausaufgabe.Diese lautet so: Zeige: Ist A,B,C,D ein Vierflach und S sein Schwerpunkt, so gilt Vektor As + Vektor Bs + Vektor Cs + Vektor Ds = 0 !!!!!!! Danke schon mal im vorraus!!!!!! Michael |
Markus
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 20:27: |
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Zeichne Dir doch einfech ein Vierflach (Parallelogramm)auf und zeichne mit verschiedenen Farben die Vektoren As und Bs und (As + Bs) ein. Du wirst merken,dass As + Bs den Vektor AD ergibt. Addierst Du Cs zu Ds , also Cs + Ds kommt genau derselbe Vektor, bloss mit einem negativen Vorzeichen heraus . Addierst du die beiden ,kommt logischerweise NULL heraus. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 21:28: |
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Hi Michael, Hi Markus , Warnung vor Scheinbeweisen ! Beim Beweis dieser Behauptung muss selbstredend die Tatsache zum Zuge kommen, dass S der Schwerpunkt der Figur ist Ansonsten würde der Satz ja für einen beliebigen Punkt S gelten. Im folgenden stellen kleine lateinische Buchstaben Vektoren dar, dasselbe gilt für die Buchstabenpaare AS, BS... OA,OB.. s = OS ist z.B. der Ortsvektor des Schwerpunktes. Vorbereitung: Der Schwerpunkt S eines Tetraeders ABCD lässt sich "bekanntlich" aus den vier Ortsvektoren der Ecken a=OA,b=OB,c=OC,d=OD als arithmetisches Mittel so darstellen: s =OS = ¼ * (a + b + c + d) Für ein Dreieck ABC gilt Analoges : OS = 1/3 (a + b + c ) Nun bilden wir die in Frage stehenden Vektoren AS, BS, CS, DS. AS = AO + OS = - a + s ; BS = BO + OS = -b + s ; CS = CO + OS = - c + s ; DS = DO + OS = - d + s Nun addieren wir diese vier Vektorbeziehungen und erhalten die in Frage stehende Summe, die gleich dem Nullvektor ist: AS +BS + CS + DS = -a-b-c-d + 4 * ¼ (a+b+c+d) = 0 Der Satz mit Beweis ist also doch nicht ganz trivial. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath, |
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