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Ulrike Barth (Rieke)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 18:05: |
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Kann mir einer helfen? Induktionsbeweis von: Vor: f(x)= 1/x Beh.: f^n(x)= ((-1)^n *n!)/x^n*x |
Steffi
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 18:46: |
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Hallo Ulrike, hier der Induktionsbeweis: Ind.-Voraussetzung: f(x) = 1/x = x^(-1) Ind.-Ansatz: n=1 Es gilt: f'(x) = (-1)x^(-2) = (-1)^1 * 1! * x^(-(1+1)) = [(-1)^1 * 1!] / x^(1+1) = [(-1)^1 * 1!] / [x^1 * x] Ind.-Annahme: Es gelte für ein n aus N f^n(x) = [(-1)^n * n!] / [x^n * x] Ind.-Schritt: n -> (n+1) d.h. zu zeigen: f^(n+1)(x) = [(-1)^(n+1) * (n+1)!]/[x^(n+1) * x] Es gilt: f^(n+1)(x) = {f^n(x)}' = {[(-1)^n * n!]/[x^n * x]}' nach Ind.-Ann. = {[(-1)^n * n!]/[x^(n+1)]}' = {(-1)^n * n! * x^(-(n+1))}' = (-1)^n * n! * (-(n+1) * x^(-(n+1)-1) = (-1)^n * n! * (-1) * (n+1) * x^(-(n+2)) = (-1)^(n+1) * (n+1)! * x^(-(n+2)) = [(-1)^(n+1) * (n+1)!]/ x^(n+2) = [(-1)^(n+1) + (n+1)!]/[ x^(n+1) * x] q.e.d. Ich hoffe, Du hast alles verstanden. Gruß, Steffi. |
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