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Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 14:32: | 
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Hallo Silke,
wieder 4 Bedingungen nötig, da Funktion den Grad 3 hat
Tangentengleichung läßt sich auch schreiben als
y=2-3/2*x
1. f(-4)=0
2. für y= 2 hat f eine Wendetangente, der zugehörige x - Wert ist 0, d.h.
2.f(0)= 2
3.f''(0)=0
4. f'(0)= -3/2, da -3/2 die Steigung der Wendetangenten ist.
f(x)= a*x^3+b*x^2+c*x+d
f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+c
f''(x)=6*a*x+2*b
Es ergeben sich die Gleichungen
1.-64*a+16*b-4*c=0
2.d=2
3.2b=0
4.c=-3/2
setze in 1. ein
-64*a+16*0-4*(-3/2)+2=0, d.h. -64*a+8 =0
d.h. a=8/64=1/8
d.h. f(x)=1/8*x^3-3/2*x+2,
jetzt kannst Du Deine Lösung mit meienr vergleichen und prüfen, wo der Fehler liegt
( 1. Fehlerquelle sind die Bedingungen, zweite Fehlerquelle ist das Auflösen der Gleichungen )
Tip : wichtig ist, daß das Prinzip klar ist - bei diesen Aufgaben kann man sich leicht verrechnen.
Es ist wichtig, zu überprüfen, ob die Bedingungen richtig aufgestellt sind, denn sonst beginnst Deine Rechnung schon mit falschen Gleichungen.
Wenn Du bei einer Arbeit Zeitprobleme hast, würde ich an Deiner Stelle die aufgelösten Gleichungen nicht überprüfen, sondern lieber mit einer neuen Aufgabe beginnen. Die meisten Punkte gibt es sicherlich schon dafür, daß die Gleichungen richtig aufgestellt sind. |
Steffi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 17:48: |
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Hallo Silka,
zunächst einmal schreibt man sich die benötigten Formeln für einen Zylinder auf:
G = Grundfläche (Kreis), r = Radius der Grundfläche, h = Zylinderhöhe
V = G*h = pi*r²*h -> h = V/(pi*r²)
O = 2*pi*r² + 2*pi*r*h
Die nach h aufgelöste Volumengleichung kann man jetzt in die Oberflächenformel einsetzen:
O = 2*pi*r² + 2*pi*r*V/(pi*r²)
Kürzen:
O = 2*pi*r² + 2*V/r
Nun haben wir eine Oberflächengleichung, die nur noch von r abhängig ist (V soll ja bekannt sein). Wir können diese Gleichung deshalb auch O(r) nennen:
O(r) = 2*pi*r² + 2*V/r
Zur Ermittlung der minimalen Oberfläche bilden wir von O(r) die erste und zweite Ableitung:
O'(r) = 4*pi*r - 2*V/r²
O''(r) = 4*pi + 4*V/r³
Für Minimalwerte gilt: O'(rmin) = 0 und O''(rmin) > 0
0 = 4*pi*r -2*V/r² |*r²
0 = 4*pi*r³ - 2*V | +2*V
2*V = 4*pi*r³ |/(4*pi)
V/(2*pi) = r³ |3.wurzel ziehen
3.wurzel[V/(2*pi)] = rmin
Einsetzen in zweite Ableitung:
O''(rmin) = 4*pi + 4*V/(V/(2*pi))
= 4*pi + 8*pi
= 12*pi > 0 -> es handelt sich also tatsächlich um ein Minimum
Die minimale Oberfläche ergibt sich aus Einsetzen von rmin in O(r):
O(r) = 2*pi*r² + 2*V/r
O(rmin) = 2*pi*3.wurzel[V/(2*pi)]² + 2*V/3.wurzel[V/(2*pi)]
Erweitern des hinteren Gliedes mit 3.wurzel[V/(2*pi)]² :
O(rmin) = 2*pi*3.wurzel[V/(2*pi)]² + 2*V*3.wurzel[V/(2*pi)]² /[V/(2*pi)]
O(rmin) = 2*pi*3.wurzel[V/(2*pi)]² + 4*pi*3.wurzel[V/(2*pi)]²
O(rmin) = 6*pi*3.wurzel[V/(2*pi)]²
(uff!)
Steffi |
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