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Beitrag |
    
Jessi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 17:15: | 
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Hi,
kann mir jemand dabei helfen?
Überprüfe, ob die folgnden Funktionen f: R xR ->R im Ursprung stetig sind.
f(x,y) = 0 falls x=y=o, sonst (xy)/(x²+y²)
g(x,y) = 0 falls x=y=0, sonst (x²y²)/(x²+y²)
Danke
Jessi |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 21:16: |
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Hallo Jessi,
Das erste Beispiel:
f(x,y)=xy/(x²+y²) und f(0,0)=0
Wir betrachten f(x,y) entlang zweier verschiedener Wege nach (0,0):
1) Entlang der Linie y=x
Der Grenzwert ist:
lim(f(x,y)= lim [x*x/(x²+x²)]=lim[x²/(2x²)]= 1/2
========
2) Entlang der Linie y=-x
Der Grenzwert ist:
lim [(x(-x)/(x²+(-x)²]=lim[-x²/2x²]= -1/2
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Die zwei Resultate sind nicht gleich:
der Grenzwert existiert nicht:
die Funktion ist unstetig in (0,0)
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Das 2. Beispiel genauso untersuchen. |
Dirk
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 22:14: |
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Hi Jessi,
die Definition ist klar? RxR->R bezieht sich auf die Eingabeparameter (x und y), die auf f abgebildet werden. Und sowohl x und y als auch f sollen reelle Zahlen sein. Soviel vorneweg.
Jetzt zur Stetigkeit selber. Stetig bedeutet, die Funktion darf keine Sprungstelle haben. Hier ist nur nach dem Ursprung gefragt, weil nur dort Unstetigkeit auftreten könnte (dort wird die Lücke in der Funktion "aufgefüllt"). Das bedeutet, du musst rausfinden, ob die Funktion von links und rechts in den Ursprung hineinläuft. Es geht also um eine Grenzwertbetrachtung. Und richtig interessant wird es, weil sowohl Zähler als auch Nenner in der Nähe des Ursprungs gegen Null laufen und damit im Ursprung theoretisch 0 durch 0 zu teilen wäre. Darf man aber nicht machen. Und im Gegensatz zu allen anderen Zahlen, die dabei immer 1 ergeben (5/5=1, etc.), weiß man es bei der Null nicht so genau.
Die Frage ist also jetzt, ob der Zähler oder der Nenner schneller gegen Null laufen. Wenn der Zähler schneller läuft, geht der Grenzwert gegen Null, läuft der Nenner schneller, geht der Grenzwert gegen Unendlich. Und wenn beide ähnlich schnell gegen Null gehen, kann die Funktion gegen irgendeinen Grenzwert laufen. Und wie bekommt man das jetzt raus?
Zunächst geht man davon aus, dass sowohl x als auch y gleich schnell gegen Null laufen. Beide verhalten sich also ähnlich. Und damit ist jetzt nur noch die Ordnung, also die Potenz, interessant, mit der x bzw. y eingeht. Und die ist bei f im Zähler mit 2 (x*y) genausogroß wie im Nenner (x² bzw y²). Also weiß man hier erstmal nichts genaues. Anders bei g: Im Nenner gehen x und y immer noch mit der Ordnung 2, im Zähler aber mit der Ordnung 4 ein. Also läuft der Zähler doppelt so schnell gegen Null wie der Nenner; er hat damit stärkeres Gewicht, dominiert den Bruch und sorgt dafür, dass g im Ursprung gegen Null läuft. Damit ist dafür die Stetigkeit gezeigt. Ohne Rechnung. In der Regel reicht so eine Argumentation völlig aus...
Zurück zu f. Hier ist es komplizierter. Die Regel von de l*Hospital besagt, dass in diesem Fall der Grenzwert des Quotienten aus Ableitung von Zähler und Ableitung von Nenner gleich ist wie der Bruch selber an der Stelle des Ursprungs.
Der Vollständigkeit halber hier noch schnell die Einschränkungen, unter denen das gilt (und die Anmerkung, dass hier f(x) für den Zähler und g(x) für den Nenner steht - sorry, hab ich zu spät gemerkt):
- entweder bei Einsetzen von x0 (eine bestimmte Stelle) oder x->oo (unendlich)
- bei Entstehen "unbestimmter Ausdrücke" der Form 0/0 oder oo/oo
- f und g müssen in der Umgebung des fraglichen Punktes x0 differenzierbar sein
- sowohl f als auch g müssen an der Stelle x0 den Wert Null annehmen und von g muss die Ableitung g'(x) in der Umgebung von x0 ungleich Null sein (an der Stelle x0 selber darf sie schon Null sein! )
Gut, also die Regel gilt hier, weil wir einen unbestimmten Ausdruck haben, weil f und g für sich ganz brav sind und der Nenner überall positiv ist, außer eben im Ursprung. Jetzt müssen wir sie nur noch anwenden: Da wir einen Zähler f(x,y) haben, bedeutet seine vollständige Ableitung f'(x,y)=df(x,y)/dx+df(x,y)/dy (Summe der beiden partiellen Ableitungen).
Ab jetzt halte ich mich wieder an deine Bezeichnungen, f ist die erste Funktion und zwar die ganze. Also:
der Zähler von f abgeleitet ergibt x+y, der Nenner ergibt abgeleitet 2x+2y. Also bekommst du für den Grenzwert x+y/2(x+y)=1/2. Das bedeutet, dass sich die Funktion in der Nähe des Ursprungs an den Wert 0,5 annähert, und nicht an Null. Und damit müsste der Funktionswert im Ursprung 0,5 sein, um die Funktion stetig zu machen. Mit x=y=0 ist sie im Ursprung unstetig.
Das ist jetzt länger geworden, als beabsichtigt war. Das alles ist eigentlich für den Nachweis der Stetigkeit gar nicht nötig, der Hinweis auf die Regel von de l'Hospital und ihre Anwendung reicht völlig. Aber ich hoff, dass du es jetzt verstanden hast. Wenn ja, dann hat sich die ganze Schreiberei gelohnt.
Grüße
Dirk |
ruediger
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. April, 2000 - 11:58: |
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Hallo Dirk,
Zu g:
Diese Argumentation hätte ich in meiner Zeit als Hiwi an der Uni
nicht akzeptiert, ist natürlich was dran.
Beh: g ist stetig bei 0,0
Skizze: seien e(epsion) und d(delta) wie in den üblichen Def. der
Stetigkeit.
sei e groesser 0 gegeben
setze d = Wurzel(e)
zz: (x,y) sind aus d-Umgebung von (0,0) dann ist g(x,y) in e-Umgebung von g(0,0)=0
x,y seien aus der d-Umgebung von (0,0), dann sind |xhoch2| und |yhoch2| kleiner e.
Ich nehme ohne Einschränkung an: x und y nicht 0 sonst ist g(x,y) = 0 und alles klar
weiterhin aufgrund von Symmetrie (kann ich nur deswegen!!!):
|x| kleinergleich |y|
es ist nun:
|g(x,y)-g(0,0)| = |(xhoch2 * yhoch2)/(xhoch2 + yhoch2)|
kleinergleich |(xhoch2 * yhoch2)/(xhoch2 + xhoch2)|
= |yhoch2)/2|
kleinergleich e/2
Zu Deinem zweiten Teil möchte ich nur sagen:
Sehr abenteuerlich !! l'Hospital für Funktionen
mehrer Veränderlicher habe ich noch nie gehört.
Das Gegenbeispiel von Fern ist sauber.
gruß, ruediger |
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