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Tina (xz7lx3)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: xz7lx3
Nummer des Beitrags: 70 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 05:55: |
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Die Tabelle zeigt den Beginn einer Aufzählung von Brüchen: b1=1/1 b2=1/2 b3=2/1 b4=1/3 b5=2/2 b6=3/1 b7=1/4 b8=2/3 b9=3/2 b10=4/1 b11=1/5 etc. a) beschreibe das hier angewandte Aufzählungsverfahren. b)Bestimme die Nummer n mit bn=200/3 c) den Bruch mit der Nummer 2003 ich habe das Prinzip erkannt, also beim Zähler 1, dann 1, 2 dann 1, 2, 3 usw. beim Nenner anders herum, also 1, dann 2, 1 dann 3, 2, 1 etc. Aber wie bekomme ich das in einen Term gepackt, der mir Aufschluß über die weiteren n gibt???? Bitte helft mir Gruss Blicknix |
Martin (martin243)
Senior Mitglied Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 745 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 11:55: |
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Hi! Man muss ein bisschen hin- und herkombinieren, bis man es raus hat, aber man kann sagen (Z=Zähler, N=Nenner): Gleichung I: n = Z + Si=1Z+N-2 (i) Also können wir schnell das n für bn=200/3 bestimmen: n = 200 + Si=1200+3-2 (i) = 200 + (200+3-2)(200+3-2+1)/2 = 200+20301 = 20501 Die Aufgabe c) kann ich nicht mit einer expliziten Formel lösen, aber ich hätte da eine Idee: Wir bezeichnen die Summe (Z+N-2) als m. Es ist klar, dass m eine natürliche Zahl ist. Es gilt nach obiger Formel: n = Z + Si=1m (i) Da Z unbekannt, aber auf jeden Fall positiv ist, können wir nur schätzen: n >= Si=1m (i) Also: n >= m(m+1)/2 Wir erhalten die quadratische Ungleichung: m2 + m - 2n < 0 Also: (nur die postitive Lösung, also m>0) m < -1/2 + Ö(1/4 + 2n) Da wir nun die größte ganze Zahl suchen, die kleiner als der Term ist, benutzen wir die Gaußklammer: m = [ -1/2 + Ö(1/4 + 2n) ] Nun haben wir also Z+N-2=m und können damit aus Gleichung I den Zähler Z berechnen: n = Z + Si=1Z+N-2 (i) <=> Z = n - Si=1Z+N-2 (i) Und schließlich auch den Nenner N: m = N+Z-2 <=> N = m+2-Z Jetzt rechnen wir deinen Fall durch: n=2003 N+Z-2 = m = [ -1/2 + Ö(1/4 + 2n) ] = [ -1/2 + Ö(1/4 + 2*2003) ] = [ 62,7949... ] = 62 Z = n - Si=1Z+N-2 (i) = 2003 - Si=162 (i) = 2003 - 62*63/2 = 50 N = m + 2 - Z = 62 + 2 - 50 = 14 Wir machen die Probe (vorausgesetzt, Gleichung I ist korrekt!): n = Z + Si=1Z+N-2 (i) = 50 + Si=162 (i) = 50 + 62*63/2 = 2003 Stimmt! Natürlich nur, wenn ich zwischendurch keine Fehler gemacht habe... MfG Martin (Beitrag nachträglich am 03., Februar. 2003 von martin243 editiert) |
Martin (martin243)
Senior Mitglied Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 746 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 12:04: |
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Einen Makel hat mein "Lösungsalgorithmus" zu Aufgabe c): Es gibt Sonderfälle: Wenn nämlich bei der Berechnung von Z gemäß der Formel: Z = n - Si=1Z+N-2 (i) der Wert Z=0 herauskommt, dann gilt: N=1 und Z=m+2-N Das ergibt sich eben, wenn der Wert der Gaußklammer gleich dem Wert ohne Gaußklammer ist, da man eigentlich ein m sucht, das echt kleiner ist als die Lösung der quadratischen Gleichung. Aber das nur so am Rande... MfG Martin (Beitrag nachträglich am 03., Februar. 2003 von martin243 editiert) |
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