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Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 81 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 19:19: |
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ft(x)=1/2*x³+1/2x²-tx a) Eine Parabel 3. Ordnung verläuft durch den Ursprung, berührt die x-Achse an der Stelle x=-0,5 und geht durch den Punkt P(-2,5/-5). Bestimme die Parabelgleichung. Untersuche, ob es einen Wert für t gibt, so dass die Parabel eine Kurve Kt ist??? b) Für welche Wahl von t besitzt ft drei, zwei oder eine Nullstelle(n)? Untersuche den Sonderfall t=0 bezüglich der Anzahl der Nullstellen. Bei a) komme ich eigentlich gar nicht weit. Da habe ich ja die Punkte B(-0,5/0), P(-2,5/-5), U(0/0) gegeben. Die allgemeine Parabelgleichung lautet: g(x)=ax³+bx²+cx+d Für d weiß ich schon, dass d=0 ist. B in g(x): -1/8a+1/4b+1/2c=0 P in g(x): -125/8a+25/4-5/2c=-5 Ich kann zwar B mit 2 multiplizieren, damit c weg ist, aber das bringt mir nichts... zu b) habe ich folgendes raus... ft(x)=1/2*x³+1/2x²-tx =1/2x(x²+x-2t) -->x1=0, weil 1/2*0=0 x2,3=-1/2+-sqrt(1/4+2t) h(t)=1/8+2t=0 t=-1/2 Für dieses t habe ich dann 2 Nullstellen. für t<-1/2 gibt es insgesamt 1 NST für t>-1/2 gibt es 3 NST Für t=0 gibt es auch 3 NST Ich habe noch eine kleine Frage zu einer anderen Aufgabe, also: ft(x)=x³2x²-tx G ist das Schaubild von g mit g(x)=x²+4x Bestimme t so, dass sich Kt und G im Ursprung berühren. Geben Sie für dieses t die Koordinaten des weiteren Schnittpunktes an. Also den weiteren Schnittpunkt könnte ich selbst ausrechnen. Aber den ersten Teil verstehe ich nicht. Muss man da mit ft'(x)=g'(x) rechnen?? (Beitrag nachträglich am 09., Februar. 2003 von merci editiert) |
Michael (michael_h)
Mitglied Benutzername: michael_h
Nummer des Beitrags: 12 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 19:56: |
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zu a) du hast noch eine Bedingung vergessen: "berührt die x-Achse an der Stelle x=-0,5" bedeutet, dass g(-0.5)=0 ist und die Funktion g an dieser Stelle die gleiche Steigung wie die X-Achse hat, also g'(-0.5)=0 berühren bedeutet gleicher Funktionswert und gleiche Steigung mit diesem Hinweis kannst du den Rest von a) berechnen
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Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 82 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 20:42: |
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Habe ich auch versucht, aber das bringt mich leider nicht weit... g'(x)=3ax²+2bx+c =0,5a-1b+c=0 |
Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 83 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 21:32: |
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Bei der Aufgabe die ich noch unten gestellt habe, habe ich grad folgendes rausbekommen: Also bei der Gleichung habe ich das + vergessen, sie lautet also ft(x)=x³+2x²-tx Ich habe sie dann mit g(x) gleichgesetzt. Habe dann am Ende folgendes: -1/2+-sqrt(1/4+4+t) -->t=-4 Eigentlich kann es nicht das t für den Berührpunkt sein, weil ich dann ja eine doppelte Nullstelle bekommen müsste. Was mich aber neugierig macht ist folgendes. Ich habe mal mit g'(x)=ft'(x) gerechnet und dann eben für x=0 gesetzt und habe auch -4 für t rausbekommen. Woran liegt das? Was habe ich falsch gemacht?
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Cooksen (cooksen)
Mitglied Benutzername: cooksen
Nummer des Beitrags: 43 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 20:44: |
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Hallo Merci! zu a) Allgemeine Gleichung einer Parabel 3. Ordnung: g(x) = ax³ + bx² + cx + d Ableitung: g'(x) = 3ax² + 2bx + c Bedingungen: (1) g(o) = 0 ==> d = 0 (2) g(-0,5) = 0 ==> -(1/8)a + (1/4)b -(1/2)c = 0 (3) g'(-0,5) = 0 ==> (3/4)a - b + c = 0 (4) g(-2,5) = -5 ==> -(125/8)a + (25/4)b - (5/2)c = -5 Das Gleichungssystem hat die Lösungen: a = 1/2 b = 1/2 c = 1/8 Resultat: g(x) = (1/2)x³ + (1/2)x² + (1/8)x = 0 Dies entspricht der Funktion ft(x) für t = -1/8. zu b) In deiner Lösung hat sich ein Fehler eingeschlichen: h(t)=1/8+2t=0 ==> t = -1/4 Sonst ist alles richtig. Zusatzaufg. Der Lösungsansatz lautet g'(0) = ft'(0), da die beiden Graphen sich ja nur im Ursprung berühren sollen: g'(x) = 2x + 4 ==> g'(0) = 4 ft'(x) = 3x² + 4x - t ==> ft'(0) = -t Daraus folgt t = -4. Natürlich hat ft im Ursprung keine doppelte Nullstelle aber eine "doppelte Schnittstelle" mit g. f-4(x) = g(x) ==> x³ + 2x² + 4x = x² + 4x ==> x³ + x² = 0 ==> x = 0 oder x = -1 Gruß Cooksen
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