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Beitrag |
    
Anika
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2000 - 16:04: | 
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Erst mal Hallo!!
Also ich habe eine Mathe Aufgabe zu rechnen die für euch wahrscheinlich leicht aussieht mir jedoch ein wenig Kopfzerbrechen bereitet.
Also meine Frage:
Wenn f(x)=x(hoch 5)-x(hoch 4) dasteht
gibt es dann an der Stelle 0 einen Sattelpunkt oder einen Wendepunkt? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2000 - 20:49: |
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f(x) = x^5-x^4
f'(x)= 5x^4 - 4x³
f''(x)=20x³-12x²
f'''(x)=60x²-24x
not.Bed. für We.st. f''(x)=0
20x³-12x²= 0
x² (20x-12)=0
x=0 oder 20x-12=0, also x=0,6
hinr. Bed.: f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0
f'''(0) = 0
[f'''(0,6)=60*0,6² - 24*0,6 = 7,2 > 0
(die nähere Untersuchung von x=0,6 ist für die Aufgabenstellung nicht relevant]
Zusammenfassung
f'(0)=0
f''(0)=0
f'''(0)=0
---> f ändert bei x=0 NICHT das Krümmungsverhalten, es gibt also keine Wende- und schon gar nicht eine Sattelstelle
Allerings: Bei x=0,6 gibt es eine Wendestelle, da hier die Bedingungen erfüllt sind
(keine Sattelstelle, da gilt f'(0,6) = -216 und damit ungleich Null / hier geht übrigens eine Rechts- in eine Linkskrümmung über, da die dritte Ableitung hier positiv ist) |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2000 - 20:57: |
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Ich weiß nicht, was in diesem Zusammenhang ein Sattelpunkt ist.
Eine Frage, die sich bei der gegebenen Funktion stellt, ist ob die Funktion an der Stelle x=0 einen Wendepunkt oder ein Extremum aufweist, und, falls es sich um ein Extremum handelt, welcher Art dieses Extremum ist. (Maximum oder Minimum).
f(x)=x^5-x^4
Wir bilden die Ableitungen bis diese an der Stelle x=0 nicht mehr 0 sind:
f'(x)=5x^4-4x^3
f"(x)=20x³-12x²
f"'(x)=60x²-24x
f""(x)=120x-24
==========
f""(x) ist die erste Ableitung, die für x=0 nicht 0 ist.
Es gilt nun folgendes:
Sind alle Ableitungen bis einschließlich f(n) gleich 0 und ist die Ableitung f(n+1) nicht 0.
so ist:
falls n gerade.....ein Wendepunkt
falls n ungerade....ein Extremum und zwar
ein Minimum falls f(n+1) größer 0
ein Maximum falls f(n+1) kleiner 0 ist.
=====================0
Bei unserem Beispiel ist n=3
und f""(x) für x=0 negatif.
Also: ein Extremum und zwar ein Maximum.
===========================================
Falls mit Sattelpunkt etwas anderes gemeint ist, so kann ich nicht helfen. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2000 - 22:09: |
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Also Leute, alle im Untericht nicht aufgepasst?
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung ihr Vorzeichen ändert. Ist bei x=0 nicht der Fall, also kein Wendepunkt bei 0.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangenten.
Also erst recht kein Sattelpunkt bei x=0. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2000 - 00:11: |
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P.S.:
f'''(x) = 0 ist kein Indiz dafür, dass f das Krümmungsverhalten NICHT ändert. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2000 - 14:41: |
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Hallo Zaph,
Also ich habe ja gesagt, dass ich nicht wusste, dass eine Wendepunkt mit horizontaler Tangente "Sattelpunkt" heißt.
Wieso kannst du aussagen, dass die 2. Ableitung bei x=0 ihr Vorzeichen nicht ändert?
Dass eine horizontale Tangente vorliegt, ersieht man sofort aus f'(0)=0.
Ob die Krümmung sich an dieser Stelle ändert kann man, meiner Ansicht nach, nur durch Untersuchung aller höheren Ableitungen bis zur Ableitung, die verschieden von Null ist, entscheiden. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Januar, 2000 - 14:51: |
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Ein Vorzeichenwechsel bei einer n-fachen Nullstelle liegt immer dann vor, wenn n ungerade ist. Da x=0 eine doppelte Nullstelle von f": kein Vorzeichenwechsel bei x=0.
Deine Begründung stimmt auch. Bei Polynomen ist dein Kriterium auch sehr leicht zu überprüfen. Aber stell dir vor
f"(x) = x^8 * tan(cos(x+e^x))/(x^17 - x^3 + 1001)
oder so, und das sollst du jetzt noch 8 mal ableiten... Prost Mahlzeit!
Bei meinem Kriterum hingegen sieht man sofort:
x=0 ist 8-fache Nullstelle, also kein Wendepunkt bei x=0. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Januar, 2000 - 21:23: |
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Hallo Zaph,
Vielen Dank, dass du geantwortet hast.
Leider kann ich deinen Ausführungen nicht folgen.
Wie stellst du fest, dass eine n-fache Nullstelle vorliegt?
Dein Beispiel ist etwas kompiziert, nehmen wir die beiden einfacheren Funktionen:
f(x)=x6-x4
und
g(x)=x5-x4
Die Frage lautet: liegt für x=0 ein Wendepunkt oder ein Extrempunkt vor?
Wie siehst du, was für ein Nullpunkt vorliegt?
Wie groß ist n?
Ich sehe ein, dass es darauf ankommt ob f"(x) in einer Umgebung von x=0 das Vorzeichen wechselt oder nicht. Ich verstehe nur nicht, wie du dies feststellst ohne höhere Ableitungen wie die zweite zu betrachten. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Januar, 2000 - 21:54: |
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Hi Fern, bei Polynomen ist das wieder sehr einfach. Ebenso bei gebrochen rationalen Funktionen.
1. Regel: Immer wenn du (x-a)^n ausklammern kannst (nach dem Kürzen, versteht sich) liegt bei a eine n-fache Nullstelle vor.
2. Regel: Wenn f(x) = g(x) * h(x) und g(x) bei a eine n-fache und h(x) bei a eine m-fache Nullstelle hat, dann hat f(x) bei a eine (n+m)-fache Nullstelle.
3. Regel: Keine Nullstelle ist eine 0-fache Nullstelle.
Hiermit kannst du mein Beispiel begründen.
Diffizieler ist z.B. f(x) = e^x-1.
Bei x=0 ist hier eine einfache Nullstelle. Begründung: Potenzreihe fängt mit x^1 an (also x, aber nicht x² auszuklammern).
Dein Beispiel: f"(x) = x²(30x² -12) hat bei x=0 doppelte Nullstelle, also kein Wendepunkt.
Ebenso g(x) bei x=0 kein Wendepunkt. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2000 - 10:19: |
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Hallo Zaph,
Bei Polynomen sehe ich nun den Zusammenhang. Dies hätte ich auch schon vorher wissen sollen, naja, hatte einen kleinen Black-out.
Dass deine Methode aber auch für allgemeine Funktionen anwendbar ist, ist (für mich) erstaunlich, es scheint aber zu funktionieren.
Jedenfalls Danke! |
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