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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. August, 1999 - 13:50: | 
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Folgende Grenzwerte sollen berechnet werden:
1)
x² - x - 6
------------- lim x -> 3
x² - 2x -3
2)
x² + 5x + 6
-------------- lim x -> -3
x² + 2x - 3
Wer kann mir helfen ? |
Basti
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. August, 1999 - 14:20: |
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Hi,
1) Vorgehensweise: Erstmal x=3 einsetzen und gucken was rauskommt...
x²-x-6=0 für x=3, x²-2x-3=0 für x=3, also 0/0, das ist doof...
Aber, wenn x=3 Nullstelle von Zähler und Nenner ist, dann kann man bei beiden (x-3) rauskürzen.
Also Polynomdivision: (x²-x-6)/(x-3)=(x+2) und (x²-2x-3)/(x-3)=(x+1)
(bitte nachrechnen, ich bin furchtbar schlecht in sowas...)
x²-x-6 (x-3)(x+2) x+2
Damit:--------=------------=-----
x²-2x-3 (x-3)(x+1) x+1
Also mit x->3 (einfach einsetzen) ergibt das 5/4.
2) genauso:
x²+5x+6 (x+3)(x+2) x+2
------- = ---------- = ---
x²+2x-3 (x+3)(x-1) x-1
Also mit x->-3: 1/4.
Hintergrund: lim x->3 bedeutet, daß x noch ein klein bißchen von 3 entfernt ist, also (x-3) rausgekürzt werden darf, aber ganz furchtbar nah dran ist, so daß man nach dem Kürzen einfach x=3 einsetzen kann. |
chris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. August, 1999 - 22:11: |
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Na ja, das mit dem Probieren ist nicht sehr mathematisch und die Polinomdivision ist ja gut aber ich bin für die einfachere Lösung (oder mache ich einen Denkfehler):
Ich teile die Aufgabe 1 in Binome auf:
(x-3)(x+2)
___________
(x-3)(x+1)
dann kürzen mit (x-3)
dann rechnen:
(3+2)/(3+1)=5/4
die zweite Aufgabe sollte wohl nach dem gleichen Prinzip zu lösen sein. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 13:31: |
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Hi, ich bin Marlen. Ich stehe kurz vor einer richtig blöden Prüfung. Ich habe eine Aufgabe, die zum Komplex "Differenzialrechnung mit einer Variable" gehört.
Sie lautet: "Ein Mann befindet sich in einem Ruderboot vor einer geradlinigen Küste. Der Abstand zum nächsten Küstenpunkt K beträgt 8 km. Der Mann möchte zum Küstenpunkt Z, der vom Punkt K genau 10 km entfernt liegt. Der Mann rudert mit einer Geschwindigkeit von 3 km/h zu einem Küstenpunkt M zwischen K und Z und läuft anschließend mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h zum Punkt Z. Welchen Küstenpunkt muss der Mann ansteuern, um sein Ziel in kürzester Zeit zu erreichen."
Ich habe überhaupt keine Ahnung, was ich hier machen soll. Vielleicht kann mir jemand die Lösung mit Rechnweg geben. So eine Aufgabe kommt leider auch in der Prüfung dran. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 22:59: |
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Hi Marlen.,
Damit Du diese Aufgabe erfolgreich lösen kannst, musst Du ein
paar Kleinigkeiten präsent haben
1. Aus der Physik: das Weg-Zeitgesetz bei gleichförmigen Bewegungen:
s = v * t (s: Weg, v: konstante Geschwindigkeit, t: Zeit)
2: Aus der Differentialrechnung ( Du bemerkst: ich verwende beharrlich
die herkömmliche Orthographie) :
Die Ableitung der Quadratwurzel aus einer Funktion g(x)
Sei f(x) = wurzel ( g (x) ) , dann ist die Ableitung
f ' ( x ) = g' ( x ) / (2*wurzel(g(x))
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Nun wollen wir Deine Aufgabe lösen
Längs der Küstenlinie verlaufe die x - Achse, Nullpunkt in K ,
der Punkt Z hat dann die x-Koordinate x = 10 (Einheit jetzt und
im folgenden 1 Kilometer).
Der Landepunkt M habe die Abszisse (den x-Wert ) x als
variabler Wert
Die y-Achse brauchen wir nicht
P sei der Punkt, in welchem sich der Mann im Boot ( die Frau im Boot ? )
zur Zeit t = 0 befindet.
Der küstennächste Punkt K bildet mit M und P ein rechtwinkliges
Dreieck mit den Katheten PK = 8, KM = x , also ist die Hyportenuse
PM = W =wurzel (64 + x^2) ; wir benützen W als Abkürzung für
diese Wurzel. Die Laufstrecke MZ ist 10 -x.
Nun berechnen wir die Summe T der Fahrzeit T1 und der Laufzeit T2
mittels der Geschwindigkeiten v1 = 3 (zu Wasser),v2 = 5 (zu Lande)
T = T1 + T2 = W / 3 + (10-x)/ 5
Wir leiten nach x ab und beherzigen das, was über die Differentiation
einer Wurzel gesagt wurde. Es kommt:
T'(x) = 1/3 * 2*x/(2*W) + 1 / 5 * (-1) , wir setzen diese Ableitung null (Minimum!) und erhalten die Gleichung für x :
1/3 * x / W = 1 / 5
wir quadrieren und ersetzen W durch den Wurzelwert
W =wurzel(64 + x^2):
es entsteht die Gleichung
25* x^2 = 9 * (64 + x^2),also x ^ 2 = 36, x = 6,also bester Landepunkt so,
dass KM= 6 beträgt
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B R A V O !
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser
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