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Christian
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 19:42: |
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Achtung Prüfung! Dringende Aufgaben!!!! Habe keine Ahnung wie man die löst, bitte helft mir! 1)Auf welcher höhe muss man eine Pyramide in 2 Teile zerteilen , damit diese Volumengleich oder Oberflächengleich sind? 2)Eine Pyramide soll horizontal in N Teile geteilt werden, die alle Volumengleich sind. Wo müssen die Schnitte liegen? 3)Wie groß kann eine Kugel/zylinder maximal sein,damit sie in eine beliebige Pyramide passt?(das Verhältnis?) VIELEN DANK IM VORAUS !!! |
Christian
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 20:01: |
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Ach ja, bei Aufgabe 1) sind sowohl die höhe der gesamten Pyramide gegeben (8cm) und die seitenfläche der quadratischen Grundfläche(6cm). |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 07:40: |
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Hi Christian , Lösung der Teilaufgabe a) Bezeichnungen. Die gegebene Pyramide habe die Spitze S . A,B,C,D sind die Ecken der quadratischen Grundfläche. Im Abstand z VON DER SPITZE werde ein zur Grundfläche paralleler ebener Schnitt geführt ; als Schnittfigur erscheint das Quadrat A'B'C'D' mit der Seitenlänge u. Für die Berechnungen benötigen wir noch die Basishöhen der gleichschenkligen Dreiecke SAB und SA'B' F sei die Höhe durch S im Dreieck SAB, f diejenige im Dreieck SA'B', welche ebenfalls von S aus gemessen wird. F tritt auch je als Basishöhe in den Dreiecken SBC,SCD und SDA auf , f in derselben Rolle in den Dreiecken SB'C',SC'D' uns SD'A'. Beziehungen zwischen der Höhe H = 8 der Pyramide, der Länge a = 6 der Grundkante und den Höhen F und f. F = wurzel [H^2+(a / 2) ^ 2 ] nach Pythagoras , also F= wurzel (73) ......................................................................(1) f : F = z : H (Strahlensatz), somit: f = z * F / 8 ...........................................................................(2) z : H = u : a (Strahlensatz), somit: u = ¾ *z ................................................................................(3) 1. Berechnung des Abstandes z der Schnittebene von der Spitze S aus der Bedingung, dass die Oberflächen der Pyramide SA'B'C'D' und des Pyramidenstumpfes A'B'C'D'ABCD übereinstimmen. Gleichsetzung der Oberflächen: u ^ 2 + 4* ½ u * f = 36 + u ^ 2 + 4 * ½ * ( 6 + u ) * ( F -f ) Der letzte Summand in dieser Gleichung stellt den Flächeninhalt der vier Seitentrapeze des Stumpfes dar. Ersetzt man in dieser Gleichung u durch z gemäss (3) und f durch z und F gemäss (2) und löst nach z^2 auf, so kommt: z ^ 2 = 32*(3+F) / F , also nach (1): z ~ 6,5754 °°°°°°°°°°°° 2. Der Parallelschnitt halbiere das Volumen der Pyramide Dann gilt die Gleichung 1/3* a^2 * H = 2 * 1/3 u^2 * z , also a^2 * H = 2 * u^2 * z, daraus z = ½ * H * a ^2 /u ^ 2 , mit der Gleichungen (3) kommt: z ^ 3 = 256 oder z ~ 6,35 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° In einer Fortsetzung werden wir dasselbe Resultat mit einer wesentlich einfacheren Rechnung gewinnen. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 09:00: |
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Hi Christian, Lösung der Teilaufgabe b) Die gegebene Pyramide habe die Grundfläche G und die Höhe H. Diese Pyramide soll durch Parallelschnitte zur Grundfläche in n volumengleiche Teile zerlegt werden. Wie sind diese n -1 Schnittebenen zu wählen? Bezeichnet man die Abstände der Ebenen von der Pyramidenspitze S mit h1,h2,h3,.....,h(n-1) ( Achtung: wesentlich ist die Festlegung, dass die Abstände von S aus gemessen werden! ) so erhält man die nur von H und nicht von G abhängigen Werte, in denen erwartungsgemäss lauter dritte Wurzeln auftreten: h1 = [1/n] ^ (1/3) * H, h2 = [2/n]^(1/3) * H , h3 = [3/n] ^ (1/3) * H,.....,h(n-1) = [(n-1)/n]^(1/3) * H Zur Begründung eine Kurzfassung : wir vergleichen das Volumen einer Teilpyramide mit demjenigen der ganzen Pyramide und benützen den Satz, dass die Volumina ähnlicher Pyramiden sich verhalten wie die Kuben homologer Stücke , z.B. Höhen. Eine ausführliche Begründung folgt. Setzt man insbesondere n = 2, so erhält man Anwort auf die entsprechende Frage in Teilaufgabe a) Für n = 2 kommt: h1 = z = ½ ^ (1/3) * H = 8 * dritte Wurzel(1/2) = dritte Wurzel (256),wie früher. Freundliche Grüsse H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 10:01: |
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Hi Christoph Nochmals Teilaufgabe b) Die Höhe der ganzen Pyramide Py sei wiederum H, die Grundfläche G. Zerlegung von Py in n volumengleiche Teile. Die Abstand der obersten Schnittebene von der Pyramidenspitze S sei h1, der Flächeninhalt des Schnittes sei g ; g ist dann zugleich die Grundfläche der obersten kleinen Ergänzungspyramide Py ', deren Volumen der n-te Teil des Volumens von Py ist . Wir berechnen h1 aus der Gleichung g * h1 / 3 = 1 / n * G * H / 3 , daraus h1 = 1 / n * G / g * H ; nun ist aber wegen der Aehnlichkeit der beiden Pyramiden G / g = H ^ 2 / h1 ^ 2 , somit h1 ^ 3 = 1 / n * H ^ 3 wie behauptet. Setzt man an g * h2 / 3 = 2 / n * G * H / 3 , so erhält man h2 ^ 3 = 2 / n * H ^3 u.s.w. Mit freundlichen Grüssen H.R:Mdser,megamath. |
Christian
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 14:00: |
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VIELEN VIELEN DANK FÜR DIE HILFE!! Leider hatte ich vergessen,Das in Aufgabe 2) auch eine Teilaufgabe die Oberfläche der Teilabschnitte betrifft, d.h. wie gross sind die Abstände bei N schnitten und Oberflächengleichheit??? In jedenfall werde ich diesen Service weiterempfehlen! Mit freundlichem Gruß Christian |
Christian
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 14:04: |
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Falls möglich, brauche ich die Lösungen zu morgen,da am Freitag die mündlichen Prüfungen sind. Nochmals vielen Dank! Christian |
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