Autor |
Beitrag |
Anonym
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2000 - 09:56: |
|
Hallo, kann mir jemand erklären, was die vollständige Induktion ist und wie sie geht. Sie scheint nach einem gewissen Muster zu laufen. Wer kann mir das erklären? Also: es soll gezeigt werden, daß für 0<a<b, a,b sind Elemente von R und: n ist Element von N, dafür gilt a^ n - b^ n = (a-b) mal Summe(von i=0 bis n-1) a ^ i mal b ^ (n-1-i). Für die vollständig Induktion ist zu benutzen: (z.B.) a^(n+1)- b^(n+1)= a(a^ n - b^ n)+ b^ n (a-b) . Kennt sich jamand damit aus. Ich nicht. |
dseifert
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2000 - 14:24: |
|
Mit der vollständigen Induktion kannst Du bestimmte Sachverhalte folgendermaßen beweisen: Du beweist die Aussage für einen Anfangswert (z.b. n=1) [Induktionsanfang] und beweist im Induktionsschritt, daß ausgehend von der Annahme, daß die Aussage für ein n∈N gilt (Induktionsvoraussetzung) sie auch für n+1 gilt (Induktionsbeweis). Anschaulich kannst Du Dir das vielleicht so vorstellen, daß Du eine Reihe von Dominosteinen aufstellst und den ersten umkippst und die ganze Reihe fällt. Zu Deinem Beispiel: Die Induktion geht über n, daß 0 < a < b gilt ist die Voraussetzung. Das nehme ich jetzt jedenfalls mal so an, kennzeichne das in Zukunft immer ordentlich (auch im Hefter, Klausur, etc), damit es keine Mißverständnisse gibt. Wir führen den Induktionsanfang aus und zeigen, daß die Aussage für n=1 gilt (alternativ könnten wir auch mit n=0 anfangen, hängt davon ob, ob man der Meinung ist daß 0eN ist oder nicht. [Bei näherer Überlegung kann es mit 0 gar nicht losgehen, da 0-1 = -1 ist und die Summe dann rückwärts laufen müßte ;))]) Für n=1 ist die rechte Seite der Gleichung jedenfalls nach kurzem Nachrechnen a-b, das stimmt mit der linken Seite überein. Wir nehmen jetzt an, daß die Gleichung für n stimmt (Induktionsvoraussetzung) und beweisen, daß sie ausgehend davon auch für n+1 stimmt. Es ist nun, wie Du selbst geschrieben hast an+1 - bn+1 = a(an - bn) + (bn) * (a-b) wie Du leicht selbst nachrechnen kannst. Wir wollen nun zeigen, daß gilt: an+1 - bn+1 = (a-b)(Summe(i=0 bis n) ai*bn-i) Dazu benutzen wir obige Voraussetzung, ersetzen aber daß an-bn durch unsere Induktionsvoraussetzung und erhalten: an+1 - bn+1 = ( a(a-b) * Summe(i=0 bis n-1) aibn-1-i) + (a-b)*bn Das sieht jetzt schlimmer aus als es ist, wir klammern erstmal die (a-b) aus. Ab hier schreibe ich die linke Seite der Gleichung nicht mehr, okay? = (a-b) * (a* Summe(von i=0 bis n-1) aibn-1-i + bn) Das letzte bn gehört nicht mehr mit in die Summe rein. Jetzt haben wir ein a*summe... und packen das a einfach dort mit rein. Dadurch wird das ai zu ai+1, der Rest ist unverändert. Jetzt wenden wir einen (kleinen) Trick an und ändern die Summe so, daß sie von 1 bis n läuft. Das heißt aber auch, daß wir die i um 1 erniedrigen müssen, damit dasselbe Ergebnis rauskommt, stimmts? Damit wird ai+1 zu ai und es wird bn-1-i zu bn-1-(i-1) und damit zu bn-i und unsere Gleichung sieht jetzt folgendermaßen aus: = (a-b) * ( Summe(von i=1 bis n) aibn-i + bn) Du siehst, das sieht schon so ungefähr aus wie das, was wir eigentlich erhalten wollen. Was noch unterschiedlich ist, ist das die Summe erst bei 1 anfängt und das hinten ein bn steht. Nun, lassen wir testweise die Summe bei 0 loslaufen. Damit erhalten wir gerade einen Term mehr, nämlich bn (= a0bn-0) und damit haben wir unser bn auch untergebracht und erhalten: an+1 - bn+1 = (a-b)(Summe(i=0 bis n) ai*bn-i) Damit sind wir fertig. Zusammenfassung: Wir haben gezeigt, daß die Gleichung für n=1 gilt. Dann sind wir davon ausgegangen, daß sie für n gilt und haben gezeigt, daß sie für n+1 gilt. Wenn Du also n=200 einsetzt, dann ist die Gleichung gültig, dann wir wissen definitiv, daß n=1 stimmt, damit stimmt n=2, damit stimmt n=3, ..., damit stimmt n=200 etc. Hoffe, es war verständlich genug. Noch viel Spaß. |
Anonym
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 12:04: |
|
Hallo, dseifert Ich gehe davon aus, daß zu beweisen ist: a^n-b^n = Summe(Sigma) E (von i=0 bis n-1) a^i b ^n-1-i Besser bekomme ich das nicht in den Computer. (Kann man das im Computer einstellen z.B. zum Quadrat oder das Summenzeichen? ) Ich verstehe nicht was n&isin bedeutet oder 0<. Kannst du das nochmal verdeutlichen? |
dseifert
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 16:12: |
|
Mit 1sup2xyz1/sup2 kannst Du erzwingen, daß xyz hochgestellt wird, mit 1sub2abc1/sub2, daß abc tiefgestellt werden. Dabei ist 1 eine spitze öffnende Klammer, 2 eine spitze schließende Klammer (kann ich hier nicht schreiben, weil sonst xyz dastehen würde ;))) ∈ und < sind Befehle, die dem Browser dazu bringen sollen, bestimmte Zeichen darzustellen. So ist ∈ das Element-Zeichen (laut HTML 4.0 Standard definiert, wird aber i.d.R. nicht dargestellt wegen mangelnder Schriftart oder was weiß ich). < ist eine spitze öffnende Klammer, das wurde aber nicht ausgewertet, da das hier alles über JavaScript oder so läuft, keine Ahnung, ist ja auch egal. Das Summenzeichen könnte man theoretisch mit ∑ darstellen, das klappt aber nie im Leben mit Netscape oder IE oder mit dieser Seite an sich. Du kannst also nur "hoch-" und "tiefgestellt" erzwingen, den Rest nicht. n∈N sollte heißen, daß n aus den natürlichen Zahlen stammt. 0 < a < b sollte 0<a<b heißen. Egal. Das sollte also kein Problem sein. Mit Deiner Voraussetzung, was zu beweisen ist, liegst Du richtig, so habe ich es mir ja auch gedacht. Du solltest Dir aber angewöhnen, daß alles eindeutiger zu kennzeichnen, so kann es zum Beispiel nie schaden, einen Beweis folgendermaßen anzufangen: Voraussetzungen: blablabla Behauptung: Der Himmel ist blau [Beweis ...] Das gehört aber schon vom Thema nicht mehr auf diese Website. Wenn Du noch Fragen hast, dann kannst Du mich auch unter dseifert@gmx.de erreichen. Zum Schluß noch mal eine Bemerkung zur Induktion an sich: Mit einem "normalen" Beweis beweist Du eine Aussage auf einen Schlag für alles. Bei einer Induktion geht das nicht (oder nur wesentlich komplizierter) und deshalb zeigst Du es für jedes einzelne "n" einzeln (in der Form, daß Du es für den Nachfolger zeigst). Daniel |
Ingo
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 21:43: |
|
Für dieses Bord gibt es eine recht einfach zu verstehende Formatierungssprache. So ist z.B. das Höherstellen durch \+{Text} zu erreichen(Ergebnis : Text) und das Tieferstellen mit \-{Text} (Ergebnis : Text) |
Anonym
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 13:44: |
|
Danke für den Tip mit der Vorgehensweise, dseifert. Wenn ich das also richtig verstanden habe, sind die Voraussetzungen: 1) 0<a<b a,b sind Elemente der reelen Zahlen (R). 2) n ist Element der natürlichen Zahlen (N). Die Behauptung ist: an-bn=sum{i=0} bis n-1 , aibn-1-i |
Anonym
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 13:45: |
|
vor dem Summenzeichen fehlt noch (a-b) |
Daniel
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 15:57: |
|
Ja. |
|