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Pascal Rolli (Prolli)
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 13:59: |
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Einem Hexaeder mit der Kantenlänge a sei ein Dodekaeder einbeschrieben. Welchen Bruchteil des Würfelvolumens füllt er aus ?? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:34: |
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Hi Pascal, Kenntnisse über das reguläre Dodekaeder, leicht aufgefrischt: Anzahl der Ecken : e = 20 Anzahl der Flächen f = 12 ( 12 reguläre Fünfecke) Anzahl der Kanten k = 30 Der Eulersche Polyedersatz ist damit erfüllt: e - k + f = 2 . Für Deine Aufgabe benötigst Du die Volumenformel: für d als Kantenlänge berechnet man das Volumen V1 nach der Formel: V1 = ¼ * (15 + 7 * wurzel (5) ) *d ^ 3 Die Herleitung dieser Formel kann bei Bedarf Lehrbüchern der Stereometrie entnommen werden Um sich eine Vorstellung vom Dodekaeder zusammen mit dem umgeschriebenen Würfel(Hexaeder),Kantenlänge w, zu erhalten, entwerfen wir eigenhändig eine Zeichnung , am besten mit den Mitteln der darstellenden Geometrie. Ich beschreibe kurz eine mögliche Darstellung: Eine Achse des Dodekaeders (Verbindungsgerade der Mittelpunkte paralleler Gegenkanten) stehe zur Grundrissebene (Zeichenebene) senkrecht und ebenso ein Kantenpaar, während. zwei andere Kantenpaare, die unter sich und zum ersten Paar senkrecht sind, liegen parallel zur Grundrissebene. Die Projektion des Dodekaeders auf die Grundrissebene kann nun mit Hilfe des umgeschriebene Würfels einfach konstruiert werden. Im weiteren, und das ist die Hauptsache ,entnehmen wir der Figur eine Beziehung zwischen den Kantenlängen d und w der beiden Körper. Zwölf Ecken des Dodekaeders liegen zu je zweien auf Mittellinien der sechs Würfelflächen, die restlichen acht Ecken des Dodekaeders sind die Ecken eines kleineren Würfels, dessen Kanten mit Flächendiagonalen des Dodekaeders zusammenfallen. Dieser kleinere Würfel spielt im folgenden kein Rolle mehr. In der Figur sind ähnliche rechtwinklige Dreiecke sichtbar, deren Katheten sich aus d und w wie folgt ergeben: Im grösseren Dreieck ist die eine Kathete w/2,die andere (w-d)/2. Die entsprechenden Katheten im kleinen, dazu ähnlichen Dreieck (w-d)/2 und d/2. Daraus ergibt sich die Proportion: w : (w-d) =(w-d) :d, Die Dodekaederkante d stimmt gemäss dieser Proportionalität mit dem kleineren Abschnitt der nach dem goldenen Schnitt geteilten Würfelkante w überein Aus der quadratischen Gleichung w^2 -3 w*d + d^2 = 0 berechnen wir : w = ½ * ( 3 + wurzel (5) ) * d oder d = ½ * ( 3 - wurzel (5) ) * w Für den Quotienten Q der Volumina Dodekaedervolumen / Würfelvolumen erhalten wir: Q = ¼ * (15 + 7* wurzel(5) )* d ^ 3 / w ^ 3 = 2* (15 + 7 * wurzel (5) ) / ( 3 + wurzel (5) ) ^ 3 ~ 0,427 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 21:04: |
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Hi Pascal, Damit Du Dich in Sachen Dodekaeder besser ins Bild setzen kannst , bringe ich noch zwei Ergänzungen 1. Eine Herleitung der Volumenformel für das reguläre Dodekaeder und einiges mehr findest Du im Archiv unter dem Stichwort "Merhaba". 2 Für die in meiner letzten Arbeit beschriebenen Normalprojektion eines Dodekaeders auf die Grundrissebene liefere ich Dir die Koordinaten ausgezeichneter Punkte franco domizil, damit Du eine exakte Zeichnung der Situation entwerfen kannst. Die Daten sind folgende Kantenlänge w des umgeschriebenen Würfels: w = 10 (cm) Daraus Kantenlänge d des Dodekaeders: d = ½* (3 - wurzel(5)) ~3,82 Die Punkte W1(5/5),W2(-5/5),,W3(-5/-5),W4(5/-5) sind die Projektionen der Ecken des umgeschriebenen Würfels. Der Umriss des Dodekaeders in der Grundrissebene ist ein (nicht reguläres) Sechseck ABCDEF, wobei die Ecken die folgenden rechtwinkligen Koordinaten haben: A( 5 / 1,91 ), B( 0 / 5 ), C ( -5 / 1,91 ), D( -5 / - 1,91 ) , E( 0 / -5) , F( 5 / - 1,91). Die Zahl 1,91 ist eine Näherung für ½ * d. Auf dem Rand dieses Sechsecks liegen die Punkte U1(3,09 /3,09), U2( -3,09 / 3,09 ) U3 (-3,09 / -3,09 ) , U4(3,09/-3,09) Anm. U1,U3 liegen auf der Winkelhalbierenden y = x, U2 , U4 auf der Winkelhalbierenden y = - x U1,U2,U3,U4 sind auch die Projektionen der Ecken des im früheren Text erwähnten kleinen Würfels . Im Innern des Sechsecks geben wir noch die Punkte V1 und V2 auf der x-Achse durch ihre Koordinaten an: V1(1,91/ 0) , V2( -1,91/0) Die Strecke V1V2 stellt sowohl die Projektion der zur Grundrissebene parallelen höchsten Kante, als auch die Projektion der dazu parallelen tiefsten Dodekaederkante dar. Verbinde die Punkte V1U1,V1U4 ,V2U2.V2U3 und V1V2 Im Inneren des Sechsecks erkennst Du wie in einem Vexierbild vier (nicht reguläre) Fünfecke ,welche die Projektionen von Seitenflächen des Dodekaeders sind. Die im früheren Text genannten rechtwinkligen Dreiecke sind Folgende: Dreieck E W4 F , Kathete E W4 =w/2, Kathete W4 F = ½ * (w-d) Dreieck V1 P(5/0) A, Katheten ½ * (w-d) und d/2. Ich hoffe sehr, dass jetzt vieles klarer geworden ist. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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