| Autor |
Beitrag |
    
kai
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Oktober, 1999 - 20:40: | 
|
Stehe kurz vor klausrur!!!
woran erkenne ich, daß es notwendig ist, die beliebte kettenregel einsetzen zu müssen?
Außerdem kann ich aus meinem mathe-skript nicht erkennen, wann man von: - stetig
- diffbar
- nicht stetig aber
stetig fortsetzbar... - "kritischer Pkt"????
Wäre end-supi nett von dir, bald zu helfen!!!
bitte bitte bitte NOTFALL!!! |
spockgeiger
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Oktober, 1999 - 00:16: |
|
hi kai, hey das reimt sich;)
die kettenregel musst du immer dann benutzen, wenn wenn in einer typischebn funktion(wurzel exponential, logaritmus, sinus, cosinus usw...) nicht wie gewohnt x sondern irgedein von x abhaengiger wert steht
zb
f(x)=sin(x²+e^(sinx-1))
ich hab jetzt eine ziemlich komlizierte funktion genommen, ich hoffe, dass verwirt dich nicht
aeussere ableitung:
cos(x²+e^(sinx-1))
innere ableitung:
x²+ableitung von e^(sinx-1)
aeussere ableitung von e^(sinx-1):
e^(sinx-1)
innere ableitung:
cosx
also ist die innere ableitung der ganzen funtion:
x²+e^(sinx-1)*cosx
also ist die ganze ableitung gleich:
cos(x²+e^(sinx-1))*(x²+e^(sinx-1)*cosx)
jetzt nochmal was sehr einfaches
log(x²)
aeussere ableitung:
1/x²
innere Ableitung:
2x
gesamte:
2x/x²=2/x
hoffe, konnte dir helfen |
Andreas Plihal
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 1999 - 21:16: |
|
Liebe(r) Kai
Stetig
Differenzierbar
Nicht stetig, aber stetig fortsetzbar
Kritischer Punkt
Die genannten Begriffe sind in der Literatur alle genau definiert. Die Definitionen sind tw. kompliziert, aber nachlesbar. Dir kommt es wahrscheinlich eher auf anschauliche Erklärungen an.
Zunächst sind das alles Begriffe, die sich auf (reelle) Funktionen der Marke y = f(x) beziehen. Funktionen können wir im xy-Koordinatensystem darstellen. Dort bilden sie sich dann als Kurven ab. Ich werde versuchen, Dir diese Begriffe an Hand der Kurvengeometrie näher zu bringen.
Stetig ist eine Funktion dann, wenn man ihre Kurve mit einem Bleistift ohne Absetzen zeichnen kann. Stetige Funktionen machen keine Sprünge oder haben auch keine Löcher. Aber – und das ist der Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit – stetige Kurven „dürfen“ Ecken haben. An einer Ecke macht die Kurve noch keine wilden Verrücktheiten, aber man kann an einer Ecke keine Tangente anlegen – die würde dort herumwackeln wie ein Kuhschweif.
Und das ist nämlich notwendig für eine Funktion, um differenzierbar gennant werden zu dürfen: es muss an jeder Stelle möglich sein, eine eindeutige Tangente anzulegen. Die Differenzierbarkeit ist ein stärkerer Begriff als die Stetigkeit. Ist eine Funktion differenzierbar, dann ist sie auch stetig. Umgekehrt gilt das aber nicht. Also aus der Stetigkeit einer Funktion allein kannst du noch nicht ihre Differenzierbarkeit schließen!
Wenn es stetige Funktionen gibt, dann gibt es aber auch unstetige. Eine Funktion muss nicht gleich in ihrer Gesamtheit überall unstetig sein, um bereits unstetig genannt werden zu dürfen. Um unstetig zu sein, genügt es für eine Funktion, dass sie eine einzige Stelle aufweist, an der sie unstetig ist.
Nun, es gibt mehrere Arten von Unstetigkeitsstellen. Endliche und unendliche: Entweder macht die Funktion an einer Stelle einen endlichen Sprung rauf oder runter, oder aber sie satzt an einem Punkt ins Nirvana. Das sind kritische Stellen.
Und nun gibt es noch den Begriff der stetigen Fortsetzbarkeit.
Also nehmen wir eine fast überall stetige Funktion her, die nur an einem einzigen Punkt unstetig ist.
y = ln x / x für x aus (0; 2)
Die ist bei 1 nicht definiert (bei 0 auch, aber die Stelle interessiert uns jetzt nicht), hat also dort eine Lücke. Mein Bleistift müsste beim Zeichnen dort absetzen!
Dh die Stelle x = 1 muss aus der Definitionsmenge der Funktion ausgeschlossen werden. Aber, wir können den „Schaden“ beheben. Und diese Schadensbehebung nennt man "stetige Fortsetzung". Denn wenn wir für x = 1 den Grenzübergang bilden (und dabei die Regel nach de l’Hospital verwenden), so erkennen wir, dass dafür der Grenzwert 1 beträgt:
lim ln x / x = lim ((1/x)/1) = lim 1/x = 1
x->1
Dh, wenn wir den Verlauf der Funktion entsprechend ihrem Bildungsgesetz weiter bis beliebig nahe an den kritischen Punkt x = 1 „fortsetzen“, dann erhalten wir einen Wert, den die Funktion aufweisen müsste, wenn sie an jener Stelle stetig wäre. Dass sie es dort nicht ist und dort auch unstetig bis ans Ende ihrer Tage bleibt, ist Faktum. Aber wenn wir den Schaden beheben wollten, und nach einer durchgängig stetigen Funktion suchten, dann könnte sie auf Grund unserer Berechnung nur lauten:
y = ln x / x für x aus (0 ; 1) bzw. (1 ; 2)
y = 1 für x = 1
Das ist die an der Unstetigkeitstelle x = 1 stetig fortgesetzte Funktion. Diese angegebene Funktion ist überall stetig !
Natürlich gibt es genügend unstetige Funktionen, die sich an ihren Unstetigkeitsstellen nicht stetig fortsetzen lassen.
Hoffe, es wurde jetzt ein wenig klar.
Andreas |
Sascha
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Oktober, 1999 - 21:59: |
|
Hallo Andreas
Ich glaube, dir sind ein paar Unsauberheiten bzw. fehler unterlaufen. Zunächst mal sollte man dazu sagen, daß ein Funktion nicht unstetig wird, wenn sie an einer Steller gegen Unendlich strebt und in dem Punkt selber nicht def. ist (Bsp: f(x) = 1/x auf ihrem kompletten Defbereich stetig; in Null selber ist sie weder stetig noch unstetig). demzufolge gibt es keine "unendlichen Unstetigkeitsstellen", sondern nur endliche, obwohl ich in diesem Zusammenhang überhaupt die Bezeichnungen endlich/unendlich für unpassend halte.
Nun zu deinem Fehler: Die Funktion f(x)= ln(x)/x ist in 1 definiert und hat offensichtlich den Wert 0. Deswegen kannst du die Regel von l'Hospital gar nicht anwenden und kommst zu einem falschen Ergebnis. Ein viel einfacheres Beispiel ist meinetwegen f(x)= x/x*(x-1). Die ist natürlich in Null nicht def. L'Hospital liefert lim f(x)=lim 1/(2x-1). Für x gegen 0 geht das gegen -1, also strebt auch f für x gegen Null gegen -1. Damit läßt sich f in Null stetig durch den Wert -1 fortsetzen (anschaulich: in Null fehlt einfach ein Punkt im Graphen, der ansonsten "schön" verläuft).
Ein kritischer Punkt ist für meinen Geschmack einfach eine Singularität der Funktion, dh. eine Stelle, an der sie nicht def ist (log in Null, bei gebrochen rationalen Fkt. Nullstellen des Nenners etc.), obwohl ich den Begriff noch nie gehört habe.
Hoffe, eure Verwirrung strebt nicht mehr gegen unendlich
ciao
Sascha |
Andreas Plihal
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Oktober, 1999 - 12:24: |
|
Lieber Sascha
Danke für Deine Aufmerksamkeit. Du hast natürlich recht mit der Funktion. Ich hab mich da verschrieben. Es hätte klarerweise heißen sollen:
y = ln x / (x-1)
Die obige Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht definiert, da es zu einer Division "0/0" kommen würde. Die Funktion lässt sich dann, wie in meinem ersten Statement ausgeführt, stetig forsetzen. Dort liefert sie nach de l'Hospital den Wert 1.
Verzeihung, wenn ich hier durch meinen Flüchtigkeitsfehler Verwirrung gestiftet habe.
-----------Ab jetzt Fachdiskussion----------------
Nun zu den unendlichen Unstetigkeitsstellen. Da pflegen wir offenbar unterschiedlichen Sprachgebrauch. Die gehen mE aber nicht wirklich an die Substanz.
Stetig ist eine Funktion im Punkt xNull genau dann, wenn ihr links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich ist (sofern diese überhaupt existieren).
Wenn man bedenkt, dass i.d. Definition des Grenzwertes (auf der die Definition der Stetigkeit ja beruht) es u.a. auf den Ausdruck
|f(x)-a|<=Epsilon ankommt, dann lässt sich trefflich darüber streiten, warum das Kriterium nicht erfüllt ist: Genügt es für die Unstetigkeit, dass die Differenz f(x)-a überhaupt nicht gebildet werden kann (und das ist bei den Unendlichkeitsstellen der Fall, somit meiner Meinung nach: Ja, es genügt)? Oder aber muss für eine Funktion, um an der Stelle xNull als unstetig erkannt zu werden, trotzdem die Differenz f(x)-a existieren und die Bedingung ausschließlich an der Nichtauffindbarkeit eines Deltas [für das gilt
|x - xNull| <= Delta(Epsilon,Xnull)] ab einer bestimmten Kleinheit eines Epsilons scheitern?
Daher meine ich: für die Substanz eigentlich unerheblich. Was spricht auch dagegen, Unendlichkeitsstellen wie Unstetigkeitsstellen zu behandeln? Würden irgendwelche Theoreme plötzlich falsch werden?
MfG
Andreas |
Sascha
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 1999 - 08:34: |
|
Hi Andreas
Also, das Polstellen keine Unstetigkeitsstellen sein können sieht man am besten an der reinen Definition. Du sagst, die Differenz kann nicht gebildet werden, also unstetig. Genauso gut könnte ich aber sagen: für Unstetigkeit muß ja ein Punkt die Negation der Stet.def erfüllen (es gibt ein eps. so daß für alle delta ...). Hierbei kann wieder die Differnz nicht gebildet werden also stetig? Du siehst, Polstellen aus der Stetigkeitsproblematik auszuschließen hat Hand und Fuß.
Wobei ich aber wirklich passen muß ist ein schönes Beispiel für einen Satz, der bei deiner veränderten Stetigkeit nicht mehr zutreffen würde. Das einzige, was mir dazu einfallen würde ist.
Satz: Jede monoton wachsende Funktion, die auf einem kompakten Intervall def. ist, ist auch Riemann integrierbar. (Funktion muß nicht stetig sein)
Jetzt Gegenbeispiel: f(x)=1/x auf [-1,0]
Hierbei ist natürlich die Einsetzung 0 das Problem, aber wenn wir schon die Unstetigkeit in 0 vorasusetzen, müssen wir dort auch den Fkt.wert unendlich zulassen. Was passenderes kenne ich leider auch nicht, aber vielleicht weiß ja ein anderer mehr?
ciao
Sascha
P.S: Das Stetigkeit kein ganz einfach zu verstehender Begriff ist sieht man daran, daß es sowas wie Peano-Wege gibt (stetige, surjektive Wege von [0,1] auf [0,1]^n, n beliebig). Ist zugegebenermaßen aber schon etwas weit weg vom Schuss :-). |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 1999 - 19:05: |
|
ahhh...ok..ich schreibe morgen ne mathe klausur und muss mic nur mal schnell an eurem board hier auslassen...ich kann das nicht und krieg gleich die krise,,,gibt es nicht sowas wie ne allgemine page, wo das alles richtig schoen erklaert wird...?????ß...
bitte helft mir, wenn es geht noch heute...
danke |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 1999 - 22:17: |
|
Bitte frage genauer: Beispiel, was Du nicht verstehst .... |
Sabine (Sabine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 17:34: |
|
Habe folgendes mathematisches Problem.
Also, gegeben ist die Funktion
g(x)= x2-4 im Betrag/ (2*x + 4)*x
a. Bestimme den max. Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion.
b. Schreibe g in betragsfreier Form.
c. Ermittle Lage und Art der Asymptote von g
d. Ist g stetig?(Begründung) Untersuche die Funktion g in ihren Definitionslücken auf stetige Fortsetzbarkeit (Grenzwerte)
e. Ist g auf D von g diffbar?
f. Hat g relative Extremwerte? Beschreibe das Monotonieverhalten der Funktion g.
g. Zeichne den Graphen der Funktion und verwende dabei alle bisherigen Ergebnisse.
Bitte,bitte helft mir!! Falls möglich, noch heute!!
Danke schon mal im voraus!!! |
Gerd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 23:36: |
|
g(x)=|x2-4|/[(2x+4)*x]=|(x+2)(x-2)|/[(x+2)*2x]
a. ID = IR\{-2,0}
(sonst wird der Nenner Null)
Nullstellen (Zähler muß Null sein): Gilt für x=-2 und x=2. Achtung! Da die Funktion für x=-2 nicht definiert ist, ist x=2 die einzige Nullstelle.
b. Tipp: Mache Fallunterscheidung für |..| < 0 und |..| ³ 0
c. Das ist leicht, wenn Du ganz oben meine Umformung der Gleichung betrachtest. Oder?
So, lege mal bis dahin los und wenn Du alles soweit verstanden hast, dann versuche den Rest. Wenn Du Deine Lösungen hier reinstellst, können wir das auf Richtigkeit überprüfen.
Natürlich helfen wir auch wieder weiter, wenn an einer Stelle hängenbleibst. Dann schreib mal wo genau.
Gerd |
Jack
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 18:43: |
|
Moin, habe auch ein kleines Problem...
Ich soll bis morgen ein Referat über die Kettenregel machen nur hab ich keinen blassen schimmer wie man diese herleitet usw.
Wäre echt nett von euch wenn ihr mir helfen könntet.Danke |
Ralf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 16:02: |
|
1)
Kettenregel-Beispiele ...
2)
Schau ins Online-Mathebuch
3)
Wenn Du hängenbleibst, frage wieder nach.
Ralf |
robbie
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 12:25: |
|
hey,gegeben sind 2 fkt also: f1(x)=e^x und f2(x)=
e^x+1.die behaupten dass es irgendwo eine schnittstelle gibt.lösung wär ja gleichsetzen und nach e^x auflösen.aber wie,zum teufel?????????danke |
joki
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 12:39: |
|
Hi robbie,
Bei neuer Frage immer neuen Beitrag öffnen! |
|
