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manu
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 15:14: | 
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Bitte helft mir!
Aufgabe:
In der Funktionsgleichung f(x)=ax²+bx sind die Parameter a und b so zu bestimmen, daß die Kurve die Gerade mit der Gleichung 6x-5y+4=0 im Punkt P(2|p) berührt.
Bestimme das Extremum und die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Welcher Kurvenpunkt A hat den geringsten Abstand von der Geraden y= -x+12?
Wie lautet die Gleichung der durch A verlaufenden Kurvennormalen?
Wer kann mir das Schritt für Schritt erklären, ich hab überhaupt nichts verstanden!
Danke schon mal im Voraus!! |
Harald
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 12:52: |
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Hallo manu,
zuerst solltest du die Geradengleichung umschreiben und den Berührpunkt ausrechnen:
Dann solltest du überlegen, was es bedeutet, dass 2 Funktionsgrafen sich an der Stelle x = x0 berühren:
- sie haben einen Punkt gemeinsam: f(x0) = g(x0)
- sie haben dort eine gemeinsame Tangente, also die gleiche Steigung: f'(x0) = g'(x0)
1. f(2) = g(2) => 4a + 2b = 3,2
2. f'(2) = g'(2) => 4a + b = 1,2
Gleichungssystem lösen (voneinander abziehen):
=> a = -0,2 ; b = 2
=> f(x) = -0,2 x2 + 2 x
Zur Kontrolle schaut man sich die beiden Grafen an:
Schnittpunkt mit der x-Achse (= Nullstellen): f(x) = 0
N1(0|0) und N2(10|0)
Das Extremum liegt bei einer quadratischen Parabel immer genau zwischen den beiden Nullstellen:
- x = 5, y = f(5) = 5
- wg. a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet
=> Max.(5 | 5)
So, jetzt zuerst einmal viel Spaß beim Nachrechnen! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 14:55: |
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Hi Manu,
Nachdem Harald den ersten Teil der Aufgabe in
vorbildlicher Weise gelöst hat, gilt es nun, den
zweiten Teil der Aufgabe zu lösen
Um den Punkt A auf der Parabel y 0 = - 0.2 x^2 + 2x
zu finden, der von der Geraden g mit der Gleichung
y = - x +12 den kürzesten Abstand hat,
fordern wir, dass die Tangente im laufenden Punkt P(x/y)
auf der Parabel parallel zu g verläuft, d.h wir setzen
die Ableitung y' = - 0.4 x + 2 der Steigung m = - 1 von g
gleich. Aus dieser Gleichung berechnen wir die Abszisse xA
des gesuchten Punktes A. Wir erhalten xA = 7.5.
Aus der Parabelgleichung berechnen wir die Ordinate yA von A:
yA= 3.75.
Die Steigung der Kurvennormalen in A ist 1 (entgegengesezt
und reziprok zu m)
Gleichung von n: y = x + q ; da n durch A geht, findet man
durch Einsetzen der Koordinaten von A
q = - 15 / 4.
Die Gleichung von n lässt sich auch so anschreiben :
4 x - 4 y = 15.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Harald
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 23:03: |
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Hallo manu!
>> Welcher Kurvenpunkt A hat den geringsten Abstand von der Geraden y=-x+12?
Nennen wir die beiden Punkte, die den geringsten Abstand darstellen A(ax | ay) auf f(x)=-0,2x2+2x und B(bx | by) auf g(x)=-x+12.
Stelle zuerst die Gleichung der Normalen auf g(x) in B auf:
-> sie hat die Steigung mn=1 (warum?)
-> sie verläuft durch B(bx | by) (logisch!)
n(x) = x - 2 bx + 12
Ermittle nun die Steigung mAB der Geraden durch die Punkte A und B:
Für den Abstand d zweier Punkte gilt d2 = (ay - by)2 + (ax - bx)2
Setzen wir ein:
Mit bx aus der Normalen erhalten wir:
Berechnet man das Minimum von d(ax), so erhält man
Also gilt: A( 7,5 | 3,75 ) und B( 7,875 | 4,125 ),
der kürzeste Abstand ist wurzel(9/32) = 0,53,
die Gleichung der Normalen lautet: n(x) = x - 3,75 |
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