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Anonym
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 08:07: |
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Hallo. Gegeben ist ein fester Vektor a ungleich O mit a Element von R3. Man zerlege einen beliebigen Vektor x Element von R3 in die Summe x = y + z , so daß gilt : y parallel zu a und z senkrecht (90 Grad) zu a Zu berechnen sind y und z . Wer kann mir da weiterhelfen und ausführlich rechnen. Ich muß das nämlich noch vortragen. |
Fern
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 14:32: |
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Hallo Anonym, etwas einfacher formuliert heißt dies: zerlege den Vektor x in eine Komponente in Richtung a und in eine senkrecht dazu. ======================== Die Projektion von x auf a:
x.a y = ------ a und die dazu senkrechte a.a Vektorkomponente z = x - y Vielleicht am Besten an einem Beispiel erklärt: In einem rechtwinkeligen Bezugssystem: a=(7,1,-2) x=(3,-5,2) x.a = 3*7-5*1-2*2 = 12 a.a = |a|²= 7²+1²+2² = 54 12 14 2 -4 y= ---- (7,1,-2) = (----, ---, ----) 54 9 9 9 z = (3,-5,2)-(14/9, 2/9, -4/9) = (13/9, -47/9, 22/9)
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H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 15:26: |
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Hallo Fern, Zu Deiner Lösung und zum numerischen Beispiel: Bravo ! Noch ein Hinweis methodischer Art meinerseits: Man ersetzt in der Vektorgleichung x = y + z zunächst y durch t * a , wobei t ein zu bestimmender Skalar ist ; es kommt: x = t * a + z. Jetzt multipliziert man beide Seiten skalar mit dem Vektor a Man erhält links und rechts vom Gleichheitszeichen Skalarprodukte: (x. a) = t * (a .a) + (z .a) ; weil z auf a senkrecht steht , gilt: (z. a) = 0 Die Auflösung nach t liefert: t = ( x . a ) / ( a .a ) ; im Nenner steht übrigens das Quadrat des Betrages des Vektors a . Gruss H.R. |
franz
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 16:08: |
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Hallo, in diesem Sinne gibt es eine schöne physikalische Anwendung, das "natürliche Koordinatensystem". Es begleitet einen Punkt auf seiner Bewegungskurve und funktioniert mit den orthogonalen Einheitsvektoren e(t) (tangential), e(n) (normal, Richtung Krümmungsmittelpunkt) und e(b) (binormal; seltener benutzt). Damit beschreibt man Geschwindigkeit v=Ve(t) und Beschleunigung b=dV/dt*e(t)+V²/R *e(n) (groß die Beträge; R Krümmungsradius). Gruß F. |
franz
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 18:46: |
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PS. In der Differentialgeometrie als begleitendes Dreibein bekannt. F. |
Fern
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 18:59: |
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Hallo Anonym, Da du ja einen Vortrag zum Thema Projektion halten sollst, hier noch einige Ergänzungen mit Skizze:
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