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niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 14:50: | 
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Wie kann ich die Rentenformel für den Zahlungsentwert (vor-und nachschlüssig) plausibel herleiten?
Mein einziges Problem bei der Herleitung ist, daß ich am Schluß in der Formel für das Kapital (k) nach n Jahren:
k=R*(q^n+q^n-1.......q^n-(n-1)+q^0)
(R=Betrag der Rente)
die Geometrische Folge q^n+q^n-1........
nicht in den Bruch q^n-1/q-1 umgeformt bekomme.
Wie muß ich an dieser Stelle umformen um den Bruch zu erhalten?
Die allg. Berechnungsforschrift solcher folgen lautet: a*q^n-1 (a=1.Glied der Folge).
Das q^n-1=q^n/q ist verstehe ich auch. Lediglich verstehe ich nicht, wie die -1 beim Bruch zustandekommt.
Bitte um Erklärung!!!!
Danke im vorraus! Niels |
habac
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 15:05: |
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Hi niels
wenn ich dirch richtig verstehe, willst du eine Herleitung der Formel für einen Spezialfall der Summe der geometrischen Reihe:
sn = (qn-1)/(q-1)
Das geht z. B. mit vollst. Induktion oder mit einem Trick:
sn = qn-1 + qn-2 + ... + q1 + q0
Multipliziere jedes Glied der obigen Gleichung mit q:
q*sn = qn + qn-1 + ... + q2 + q1
Subtrahiere jetzt die obere Gleichung von der untern: Rechts fällt fast alles weg!
q*sn - sn = qn - q0
ausklammern:
(q - 1)*sn = qn - q0
Durch die Klammer dividieren, q0 = 1 setzen: fertig! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 01:54: |
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Es läuft zwar aufs gleiche hinaus wie habacs Begründung,aber vielleicht hilft auch das ein wenig weiter.Erweitere die Reihe mit (q-1):(q-1).Dann steht dort
1+q+q2+...+qn = (q-1)(1+q+q2+q3+...+qn):(q-1)
= [q*(1+q+q2+...+qn)-(1+q+q2+...+qn)]:(q-1)
= (q+q2+q3+...+qn+1-1-q-q2-...-qn):(q-1)
Jetzt greift das obige Argument von Habac im Zähler und es bleibt der Term
(qn+1-1):(q-1) übrig. |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2000 - 14:40: |
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Danke habac und Ingo für eure tollen Tricks zum lösen meines Problems.
Allerdings ist mir nach habacs Antwort nicht mehr gans klar, worin eigentliche Unterschied zwischen der geometrischen Folge und der geometrischen Reihe besteht.
könnt ihr mir Helfen?
Danke Niels |
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