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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1595
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 00:21: | 
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Ernie bekommt von Bert eine leere Keksdose geschenkt, in die unendlich viele Kekse passen. Ernie freut sich riesig und nimmt sich vor, bis Mitternacht die Dose komplett zu füllen.
Um 12:00 Uhr mittags legt er den ersten Keks in die Dose. Den zweiten Keks um 18:00 Uhr, den dritten um 21:00 Uhr und den vierten um 22:30 Uhr.
Und so weiter ... die Zeitdauer bis zum nächsten Keks halbiert sich immer.
Der fünfte Keks also um 23:15 Uhr, der sechste um 23:37:30 Uhr und der siebte um 23:48:45 Uhr.
Und so weiter und so fort ...
Aber ... *dumdidumdidum* ... plötzlich kommt das Krümelmonster!
Und zwar um 21:00 Uhr das erste Mal. Krümel nimmt einen Keks und verputzt ihn. Und immer, nachdem Ernie drei Kekse in die Dose gelegt hat, klaut Krümel einen Keks. Das nächste Mal somit um 23:37:30 Uhr.
Die Anzahl der Kekse in der Dose ist also 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, ...
Frage: Wie viele Kekse befinden sich um Mitternacht in der Keksdose??
(Beitrag nachträglich am 30., März. 2004 von zaph editiert) |
Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 814
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 15:39: |
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Hallo Zaph,
Wir numerieren die einzelnen Stadien des Prozesses
mit n=1,2,3,..., d.h.: die Uhrzeit im Stadium Nr. n ist
t(n) = 24*[1-(1/2)n] , n e N
Unter der Annahme, dass es beliebig kleine Zeitintervalle gibt, gilt also
t(n) < 24 und t(n) ® 24 für n ® ¥.
Sei nun A(n) die Anzahl der Kekse, welche im Stadium
n in der Dose sind. Dann gilt wie leicht zu sehen
A(3k-m) = k-m+2 ; k e N, m e {0,1,2}
(z.B.: A(1000) = A(3*334-2) = 334).
Daraus geht hervor, dass A(n) ® ¥.
mfG Orion
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 815
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 16:47: |
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Hallo nochmal,
Um die Sache ein wenig realistischer zu gestalten
(sonst heisst es wieder : "typisch Mathematiker!")
nehmen wir an, dass die Uhr 1/10 Sekunde vor
Mitternacht auf 24 h springt. Nun ist
t(19) = 23h 59m 59.83s , t(20) = 23h 59m 59.91s
Also endet das Spiel realiter bei n=20 mit läppischen
8 Keksen in der Dose.
mfG Orion
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1596
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 18:34: |
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Hallo Orion,
wir sind natürlich völlig unrealistisch! D. h. die Zeit und der Sekundenzeiger bewegen sich kontinuierlich. Außerdem kann Ernie beliebig schnell Kekse heranschaffen und Krümel kann beliebig Schnell Kekse verdrücken.
Trotzdem ist deine Berechnung von 16:39 irrelevant! Ich habe ja nicht gefragt, was mit der Anzahl von Keksen ***vor*** Mitternacht los ist, sondern ich will wissen, wie es ***um*** Mitternacht aussieht.
;-)
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 816
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 13:37: |
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Hallo,
Wie dem auch sei, wenn jemand Spass an skurrilen
Funktionen hat: hier ist die Keks-Krümel-Funktion
kkr(t) :
kkr(t) := 1+ [ld 12 - ld(24-t)] - 2[(ld 12 - ld(24-t))/3] ,
12 £ t < 24 , kkr(24) = ¥ .
ld := log2 , [x] := floor(x).
(Beitrag nachträglich am 31., März. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1597
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 18:39: |
|
Hi Orion,
kkr(21)
= 1 + [ld 12 - ld(24-21)] - 2[(ld 12 - ld(24-21))/3]
= 1 + [ld 4] - 2[(ld 4)/3]
= 1 + 2 - 2[2/3]
= 3
... hm ... stimmt wohl nicht ganz ... aber egal! Darum geht es auch gar nicht. Die Frage ist: Warum ist
kkr(24) = limt -> 24 kkr(t)
???
Ich meine: Ernie legt unendlich viele Kekse in die Dose und Krümel klaut unendlich viele Kekse. Warum also nicht kkr(24) = 0 oder sogar kkr(24) = 42???
Denk mal drüber nach ;-) |
Fireangel (Fireangel)
Moderator
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Nummer des Beitrags: 98
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 19:05: |
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Betrachte folgende Reihe:
Summe über alle n von: (12/((2^3)^n))
Bei jedem n nimmt Krümelmonster einen Keks. Die Reihe stellt dann die Zeit dar, die vergangen ist seit 12 Uhr, bis Krümelmonster den nten Keks nimmt.
Jedesmal, wenn Krümelmonster einen Keks nimmt, sind seit dem letzten Mal, dass er einen nahm, zwei Kekse mehr in der Dose. Die Anzahl der Kekse ist also jeweils: 2n.
Wann geht nun die Reihe gegen 12? Denn dann wäre es ja 24 Uhr. Das tut sie, wenn die Reihe:
Summe über alle n von (1/8^n) gegen 1 geht. Dies tut sie bei n gegen unendlich. Klar, Krümelmonster nimmt ja auch unendlich viele Kekse. Die Anzahl der Kekse, die in der DOse verbleiben, ergibt sich zu: 2*unendlich, also unendlich viele Kekse bleiben in der Dose. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1598
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 20:23: |
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Hallo fireangel,
bin etwas verwirrt ... Soo n=1 12/23n ... ? Oder was?? Wie das??? |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 734
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 20:57: |
|
Hi,
ich würds mal so sehen
die Zeitfolge hat als Grenzwert Mitternacht, da das Krümmelmonster ja nach Vorraussetzung genau dann wenn 3 Kekse in die Dose gelegt wurden, sich wieder eines klaut und verputzt, verputzt es doch genau 1/3 dessen was reingelegt wurde, also sind doch nur 2/3 vom Ursprungsinhalt in der Dose;
und das is doch unendlich, oder nicht?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1599
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 21:11: |
|
Hallo Mainzelmännchen!
Haargenau, Krümel mümmelt ein Drittel der Kekse, die Ernie in die Dose legt! Aber ein Drittel von unendlich ist immer noch unendlich.
Und gar keine Frage: kurz vor Mitternacht wird die Dose voller und voller. Sie wird sogar beliebig voll.
Ich behaupte jetzt kackfrech:
Um Mitternacht befinden sich 42 Kekse in der Dose. Keiner mehr und keiner weniger.
Frage: Wie ist das zu erklären?
Jetzt komm mir keiner mit: Um Mitternacht kommt Grobi, und klaut unendlich viele Kekse, oder so. Wer wann Kekse in die Dose legt (Ernie) und wer wann Kekse entnimmt (Krümel) ist oben vollständig beschrieben.
Mahlzeit
Z. |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 735
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 22:31: |
|
mal die Zeitpunkte wann sich was tut:
12:00:00
18:00:00
21:00:00
22:30:00
23:15:00
23:37:30
23:48:45
23:54:22,5
23:57:11,25
23:58:35,625
23:59:17,8125
23:59:38,90625
23:59:49,453125
23:59:54,7265625
23:59:57,36328125
23:59:58,681640625
23:59:59,3408203125
23:59:59,67041015625
23:59:59,835205078125
23:59:59,9176025390625
23:59:59,95880126953125
23:59:59,979400634765625
23:59:59,9897003173828125
23:59:59,99485015869140625
23:59:59,997425079345703125
...
und der 63ste Zeitpunkt ist dann:
23:59:59.99999999999999063249322972524169017560780048370361328125
und genau zu diesem Zeitpunkt sind 42 Kekse in der Dose (da hat das Krümmelmonster gerade eines verputzt), klar 1 Zeitpunkte vorher sind auch 42 Kekse in der Dose; dann gibt ja Ernie eines dazu, was ja das Krümmelmonster sofort verputzt;
Es kann nur unendlich 'rauskommen;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 23:30: |
|
Na klar, die Zahl 42 wird auch schon vor Mitternacht erreicht.
Hier ein Tipp: Nummeriert die Kekse, die Ernie in die Dose legt, mal durch:
1, 2, 3, 4, ...
Welche Kekse muss Krümel klauen, damit letztendlich um Mitternacht 42 Kekse übrig bleiben? |
Mainziman (Mainziman)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 23:55: |
|
<- Kekse in der Dose zu jedem Zeitpunkt
1
2
3 <-- Krümel klaut da eins
3
4
5 <-- Krümel klaut da eins
5
6
7 <-- Krümel klaut da eins
7
8
9 <-- Krümel klaut da eins
9
10
11 <-- Krümel klaut da eins
11
12
13 <-- Krümel klaut da eins
13
14
15 <-- Krümel klaut da eins
15
16
17 <-- Krümel klaut da eins
17
18
19 <-- Krümel klaut da eins
19
20
21 <-- Krümel klaut da eins
22
23
24 <-- Krümel klaut da eins
24
25
26 <-- Krümel klaut da eins
26
27
28 <-- Krümel klaut da eins
28
29
30 <-- Krümel klaut da eins
30
31
32 <-- Krümel klaut da eins
32
33
34 <-- Krümel klaut da eins
34
35
36 <-- Krümel klaut da eins
36
37
38 <-- Krümel klaut da eins
38
39
40 <-- Krümel klaut da eins
41
42
43 <-- Krümel klaut da eins
43
44
45 <-- Krümel klaut da eins
Wo bleibt da 42 übrig?
Wenn 42 übrigbleiben, würde das ja heißen, er verdrückt alle bis auf endlich viele; und das tut er ja nicht, oder?
oder anders 'rum, müßte Ernie mal aufhören Kekse reinzugeben und Krümel sie zu verdrücken, davon ist aber keine Rede;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 00:04: |
|
1 (in der Dose: 1)
2 (in der Dose: 1,2)
3 <-- Krümel klaut Keks Nr. 3 (in der Dose: 1,2)
4 (in der Dose: 1,2,4)
5 (in der Dose: 1,2,4,5)
6 <-- Krümel klaut Keks Nr. 6 (in der Dose: 1,2,4,5)
...
63 <-- Krümel klaut Keks Nr. 63 (in der Dose: 1,2,4,5,..,61,62)
Ab hier ändert Krümel seine Taktik! Nämlich wie??? |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 00:46: |
|
er muß ab dem Keks Nr. 63 alle klauen; nur dann können 42 übrig bleiben;
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1602
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 07:30: |
|
So sieht es aus, Mainzi!
Im Zeitpunkt 66 klaut Krümel Nr. 64
Im Zeitpunkt 69 klaut Krümel Nr. 65
Im Zeitpunkt 72 klaut Krümel Nr. 66
Im Zeitpunkt 75 klaut Krümel Nr. 67
... u.s.w.
Alles klar? ;-)
Schönen Tach noch
Z. |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 738
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 08:10: |
|
Hihi,
daher weht der Wind 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Murray (Murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Murray
Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 09:45: |
|
Also
1. steht in der Aufgabenstellung nicht, daß Krümelmonster seine Strategie ändert
2. könnte es das dann zu jedem beliebigen Zeitpunkt tun - es könnte also auch 27 oder sonstwas rauskommen
3. selbst wenn es die Strategie ändert sind pro Schritt immernoch 2 Kekse mehr in der Dose
z.B. wird zum Zeitpunkt 66 zwar die 64 verspachtelt, aber es liegt auch der 65. und 66. Keks in der Schachtel und
66 = -64,+65,+66
69 = -65,+66,+67,+68,+69
72 = -66,+67,+68,+69,+70,+71,+72
u.s.w.
Durchnummerieren hilft also auch nicht.
Gibst Du jetzt zu, daß es sich um einen Aprilscherz handeln soll oder muß ich dich virtuell durchkitzeln?
Onkel Murray
|
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1603
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 17:54: |
|
Hallo Onkel Murray,
ich scherze nicht! Wo kämen wir denn dann hin?? ;-)
1. habe ich in der Aufgabnenstellung überhaupt nix von einer Strategie geschrieben. Habe nur beschrieben, zu welchen Zeitpunkten das Krümelmonster kommt und Kekse klaut.
2. kann tatsächlich jeder Wert rauskommen. Es ist sogar möglich, dass die Dose um Mitternacht komplett leer ist.
3. sind natürlich VOR Mitternacht beliebig viele Kekse in der Dose. Die Anzahl übersteigt alle Grenzen. Aber UM Mitternacht können es halt weniger sein ... s.o.
Z. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 817
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 2004 - 18:33: |
|
Hallo,
Der Zustand der Keksdose ist durch den beschriebenen Prozess für jedes t < 24 eindeutig
bestimmt, nicht hingegen für t=24.
Die Folge 1,2,3,2,3,4,3,4,5,...
wird durch die Funktion
f(x) := [x] - 2*[(x-1)/3] , x >= 1
erzeugt.Daraus folgt leicht
f(x) > (1/3)(x-1) => f(x) ® ¥ .
Die Variable x beschreibt die logarithmisch transformierte Zeitskala (bei der es "nie" Mitternacht
wird):
t = 24*(1-(1/2)x) <=>
x = g(t) := ld{24/(24-t)}
und es ist
kkr(t) = f(g(t)).
Man mag dies als irrelevant ansehen, schaden kann
die Ueberlegung aber wohl nicht, bringt sie doch
gewisse Einsicht. Diese lautet für mich kurz gesagt:
Da kkr(24) nicht definiert und auch nicht vernünftig
definierbar ist, ist die Frage "Was passiert um Mitternacht ?" sinnlos.
mfG Orion
|
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1604
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 19:32: |
|
Hallo Orion,
kkr(24) ist durch die ursprüngliche Fragestellung nicht definiert. Da gebe ich dir Recht. Aber zu dieser Erkenntnis muss man ja erst mal gelangen. Euch habe ich zumindest zeitweise aufs Glatteis führen können ;-)
Dass kkr(24) nicht vernünftig definierbar ist, stimme ich nicht ganz zu. Man muss eben präzisieren, auf welche Weise die Kekse entnommen werden.
Die Fragestellnug hätte sauber heißen müssen "Was könnte um Mitternacht passieren?"
Gruß
Z. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 333
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 21:26: |
|
Ich denke nicht, dass es die Aufgabenstellung hergibt, die Kekse zu nummerieren. Kekse sind nicht nummeriert und in einer Keksdose gibts auch keine nummerierten Keksplätze oder sowas, also sind die Kekse in der Dose nicht unterscheidbar und durch ihre Anzahl hinreichend charakterisiert. Ihre Anzahl wächst für t-->24 gegen unendlich und die sinnvolle Fortsetzung ist folglich auch bei 24 unendlich. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 819
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 2004 - 22:44: |
|
Hallo Zaph,
Dass es - im Hinblick auf die Aufgabenstellung - keine
sinnvolle Definition für kkr(24), gibt (z.B. kkr(24):=42), habe ich ja schon in meinem ersten Beitrag angedeutet ( A(n) ® ¥, was doch eigentlich ziemlich trivial ist). Dabei bleibe ich auch, jedenfalls solange
nicht jemand das Gegenteil beweist. Die revidierte
Formulierung des Problems halte ich für genauso fragwürdig: da verlässt man wohl die Mathematik und
begibt sich auf den Boden der Spekulation.
Immerhin kann die Aufgabe dazu anregen, über
"Paradoxien des Unendlichen" nachzudenken.
mfG Orion
|
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1605
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 02:42: |
|
Hallo Sotux,
deinen Einwand kann ich nicht ganz nachvollziehen. Wieso darf ich die Kekse nicht im Geiste durchnummeriren? Würde es nach deiner Meinung einen Unterschied machen, wenn Ernie die Kekse mit Zuckerguss-Nummern markiert hätte?
Hallo Orion,
Hilbert hat einmal gesagt: "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können". Gemeint hat er die Mengenlehre ... und insbesondere dabei die Befassung mit unendlichen Mengen. Kritiker hatte Cantor zu seinen Lebzeiten immer. Mitlerweile ist aber wohl der überwiegende Teil der Mathematiker konform, dass man mit solchen scheinbaren Paradoxien prima leben kann.
Z. |
Darkshoxx (Darkshoxx)
Neues Mitglied
Benutzername: Darkshoxx
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 08:03: |
|
Wer kommt denn bitte auf solche aufgaben? Obwohl, es erinnert mich an eine aufgabe aus der odysseus reise. Ein mann läuft ein rennen gegen eine schildkröte. die schildkröte läuft mit 1m/s .Der Mann mit 10m/s. Die schhildkröte kriegt 100m vorsprung, aber sie wird nie von dem Mann überholt. Das Problem ist bei beiden der endpunkt.wenn der M 100 m gelaufen ist, ist die S 10 m gelaufen.Ist M 10 meter weiter, ist die S 1m weiter.sie kommen sich näher , aber der mann überholt die schildkröte nicht.Theoretisch könnt man bei beiden Rätseln mit dem Finger schnippen, und die sache ist gegessen, aber der Endpunkt wird nie erreicht. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 740
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 2004 - 12:34: |
|
Hm,
was für mich da etwas seltsam ist, wenn ich auch die Strategie ändere, aber Krümel nimmt immer nur 1/3 der Kekse mit; egal ob die Kekse Zuckerglassurnummern droben haben oder nicht; das ist ja nur geschriebener Gedanke mehr nicht;
mit allen mitnehmen meinte ich tatsächlich alle mitnehmen, d.h. Krümel muß alle 3 zuletzt hineingelegten Kekse klauen; und das tut er ja nicht nach Angabe;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1606
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 16:12: |
|
Doch, tut er!
Statt Keksen betrachten wir zur Abwechslung die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, ...
Zum Zeitpunkt n sei es noch 12/2n Stunden bis Mitternacht.
An sei die Menge der Zahlen/Kekse, die zum Zeitpunkt n in der Dose sind.
Also
A1 = {1}
A2 = {1,2}
A3 = {1,2}
A4 = {1,2,4}
A5 = {1,2,4,5}
A6 = {1,2,4,5}
A7 = {1,2,4,5,7}
A8 = {1,2,4,5,7,8}
A9 = {1,2,4,5,7,8}
...
A59 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59}
A60 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59}
A61 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61}
A62 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62}
A63 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62}
A64 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,64}
A65 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,64,65}
A66 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,65,66}
A67 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,65,66,67}
A68 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,65,66,67,68}
A69 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,66,67,68,69}
A70 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,66,67,68,69,70}
A71 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,66,67,68,69,70,71}
A72 = {1,2,4,5,7,8,...,58,59,61,62,67,68,69,70,71,72}
Und so weiter.
Die Frage lautet:
Was ist limn -> oo An ?
Und die viel brennendere Frage lautet:
Wie ist limn -> oo An für eine Mengen-Folge (An)n=1,2,3,... überhaupt definiert??
Gruß
Z. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 335
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 21:43: |
|
Hallo Zaph,
ja es macht einen Unterschied. Versuch den Trick mal ohne Nummerierung ! Im Geist nummerieren reicht übrigens nicht, Krümel braucht eine Zugriffsmethode auf jeden einzelnen Keks, wenn er sicherstellen will, dass er jeden eingefüllten Keks irgendwann mal wieder entnimmt (und nur so kann der Trick funktionieren). |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1607
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 23:24: |
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Hallo Sotux,
tut mir leid, dass ich dir leider nicht ganz folgen kann. Ich versuche eigentlich, ohne zu tricksen auszukommen. Und wenn ich es doch mal tue, verrate ich i. d. R. meine Tricks hinterher ;-) Was spricht denn gegen die Formulierung mit den Mengen? Hast du ein geeigneteres mathematisches Modell?
Kann ja sein, dass Krümel die Kekse nicht unterscheiden kann. Aber man könnte sich doch vorstellen, dass er "zufällig" immer den ältesten Keks wählt. Und dann wäre die Dose am Ende leer.
Z. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 747
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 23:38: |
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Hi Zaph,
auch wenn Krümel immer den ältesten Keks verputzt, er kommt aber nur 3mal so selten wie Ernie, und in der Zeit, wo er 1 Keks verputzt, gibt Ernie 3 rein; die Reihenfolge ist irrelevant, es können auch echt numerierte Kekse (Zuckerglassur) sein, spielt keine Rolle; meinetwegen lassen wir Krümel von Anfang an immer den Keks mit der kleinsten Nummer verputzen; zum Zeitpunkt t0 wo Ernie den Keks mit der Nummer 3k hineingibt, verputzt Krümel den Keks mit der Nummer k, für alle k aus IN; der Abstand wird immer größer
Darum kann die Dose nur immer völler werden; und nach Voraussetzung explodiert die nie, weil sie ja Platz für unendlich viele Kekse hat;
Walter
p.s. heißt es das Keks, oder der Keks?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1608
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 01:12: |
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Meines Erachtens heißt es "der Keks" und "voller" ;-) |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 336
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 10:56: |
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Hallo Zaph,
"immer zufällig" schließt sich gegenseitig ziemlich sicher aus. Sobald es eine positive Wahrscheinlichkeit gibt, dass ein beliebiger Keks nicht wieder entnommen wird, werden es immer unendlich viele werden.
Dein Modell mit den Mengen ist für nummerierte Kekse völlig in Ordnung, und du hast durch geeignete Wahl deines Entnahmealgorithmus die Möglichkeit, eine Aussage der Art "Alle Kekse (ggf.bis auf x) werden im Lauf des Prozesses wieder entnommen" möglich zu machen, die man dann zu "In der Dose bleiben nur x Kekse übrig" übersetzt.
Sobald die Kekse nicht mehr unterscheidbar sind, d.h. Krümel nur noch die Methode "einen Keks entnehmen" statt "Keks x entnehmen" kennt, läßt sich das Modell auf einen "Kekszähler" reduzieren, der dreimal schneller hochzählt als runter.
Das Wort "Tricks" verwende ich in der Mathematik übrigens wertneutral, nix für ungut. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1615
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 22:33: |
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Hallo Sotux,
hatte Zeit, noch ein wenig über dieses Problem nachzudenken. Zudem waren mir Megamath und Orion hier behiflich.
Nehmen wir also an, wenn Krümel in die Dose greift, entnimmt er jedes Mal den Keks zufällig.
Die W'keit, dass im Laufe des Abends Keks 1 aus der Dose verschwindet, ist
P1 = 1/3 + 2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + ... = 1
Das gleiche gilt für Keks 2 und 3.
Das heißt, mit W'keit 1 sind die Kekse 1, 2 und 3 irgendwann nicht mehr in der Dose drin.
Für die Kekse mit den Nummern 3*k-2, 3*k-1, 3*k beträgt die W'keit, irgendwann in Krümels Magen zu landen
Pk = 1/(2k+1) + 2k/[(2k+1)*(2k+3)] + 2k*(2k+2)/[(2k+1)*(2k+3)*(2k+5)] + 2k*(2k+2)*(2k+4)/[(2k+1)*(2k+3)*(2k+5)*(2k+7)] + ...
Es ist aber Pk= 1 (siehe Link von oben).
Also wird mit W'keit 1 jeder Keks irgendwann entnommen.
Gruß
Z. |
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