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Gesucht eine DGL deren Lsg (eine einp...

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Karima (Karima)
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Junior Mitglied
Benutzername: Karima

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2006 - 15:06:   Beitrag drucken

Hallo alle zusammen,

vielleicht könntet ihr mir bei dieser Aufgabe helfen.

Gesucht eine DGL deren Lsg (eine einparametrige Kurvenschar) folgenden Zustand erfüllt: An die gesuchte Kurve y(x) wird im ersten Quadraten im Punkt x die Tangente angelegt. Die Tangente schneidet die x-Achse bei x/2.

Hinweis: Zeichnen Sie die Tangente im Punkt (x,y) in ein Koordinatensystem und bestimmen Sie ihren Anstieg. Daraus erhalren sie dann die gesuchte DGL.


Also ich weiss nicht genau wie ich mit der Zeichnung beginnen soll. Also mir reichen einige Lösungshinweise wäre echt lieb, wenn ihr mir da weiter helfen könntet. Ich bedanke mich schonmal im vorraus.
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2063
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2006 - 16:10:   Beitrag drucken

Hallo Karima

Die Tangente an (x,y(x)) ist gegeben durch
f(t)=y'(x)*(x-t)+y(x)

An der Zeichnung soll man denke ich mal nur ablesen können, dass y'(x) die Tangentensteigung ist.

Jetzt soll gelten f(x/2)=0, also
x/2*y'(x)=y(x)

Das ist die DGL mit Lösung y(x)=Cx2

MfG
Christian
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 3173
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2006 - 16:42:   Beitrag drucken

y = y'x/2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Karima (Karima)
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Junior Mitglied
Benutzername: Karima

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2006 - 19:00:   Beitrag drucken

Hallo,

danke erstmal für eure Hilfen. Doch bin ich ehrlich so ganz habe ich es nicht verstanden. Also ich und ein Mitstudent haben uns folgende Gedanken gemacht kommen aber dann nicht mehr weiter.

Zeichnung:http://files.to/get/255376/5469/Aufgabe_1.6.bmp


Aus dieser Zeichnung haben wir abgelesen das
b= -y sein müßte

Rechnerisch

Tangentengleichung: y=mx+b
Steigung einer Geraden m=^y/^x= y2-y1/x2-x1

"Die Tangente schneidet die x-Achse bei x/2 also haben wir dies bei "Steigung einer Geraden" eingesetzt

m= ^y/ (x/2)= 2y/x dies dann eingesetzt in die Tangentengleichung und nach b aufgelöst

b=-y

=> y= 2y/x *x -y

Dann haben wir uns folgendes überlegt, dass man ja ebenso die Steigung einer Tangente erhält durch die erste Ableitung der Funktion. Da die Tangente eine Gerade ist müßte die Funktion mindestens eine Ordnung höher sein. Sprich eine Parabel

f(x)= ax²+bx+c
f'(x)= 2ax+b

setzt man nun f'(x) und die Tangentengleichung gleich und löst es nach m auf folgt dies

m=2a

=>y=2ax-y (somit hätten wir den Parameter a für (y/x)

und ab da kommen wir nicht weiter, denn wir weiter machen erhalten wir y=y aber wie genau zur DGL wir kommen wissen wir nicht.

Vielleicht könntet ihr uns nochmal helfen wäre echt super.
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2064
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2006 - 19:19:   Beitrag drucken

Hallo

Ihr kommt am Ende zu so einem komischen Ergebnis, weil ihr gerade am Anfang schon einen Fehler macht :-)

Betrachtet die Tangente im Punkt (x,y(x)). Dann ist x als Variable schon vergeben. Wir schreiben dann die Tangente mit t als Variablen, also allgemein
f(t)=m*t+b

m ist die Steigung, also die Ableitung der Funktion y:
m=y'(x).

Jetzt wissen wir noch, dass f an der Stelle x den Wert y(x) annehmen soll, also
f(x)=m*x+b=y(x)
=> b=y(x)-m*x

Also f(t)=y'(x)*t+y(x)-y'(x)*x
=y'(x)*(t-x)+y(x)

Und dann weiter wie oben beschrieben.

MfG
Christian
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Karima (Karima)
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Junior Mitglied
Benutzername: Karima

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2006 - 19:55:   Beitrag drucken

Hallo Christian S

danke für deine Hilfe hast uns sehr geholfen, obwohl wir uns jetzt in den **** beisen könnten, dass wir diesen Fehler net bemerkt haben und komplett mitgenommen haben.

MFG

Karima

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