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Beitrag |
    
Katharina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juni, 2006 - 20:22: | 
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Hallo, ich komme nicht ganz weiter mit meiner Aufgabe.
Sie lautet folgendermaßen:
Ich habe den Gradienten bestimmt mit den beiden Bestandteilen:
1/x²-4 und -1/y²+1. Jetzt muss ich ja bestimmen, wann der Gradient Null ist, das wäre bei x=±½ und y=±1.
Mir ist nicht so ganz klar, was jetzt meine stationären Punkte sind. Ein Kommilitone von mir hat die beiden kombiniert und geschrieben, sie seien (½, 1), (½, -1), (-½, 1), (-½, -1), aber ich verstehe nicht ganz, wieso. Denn im Prinzip sind doch alle Punkte (½, y) oder (-½, y) bzw. (x, 1) oder (x, -1) Lösungen. Was muss ich da machen?
Beim zweiten Teil der Aufgabe habe ich gar keinen Ansatz...
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte! |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 829
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2006 - 22:36: |
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Hi,
an einem kritischen Punkt muss der Gradient komplett verschwinden, also es muessen beide Komponenten gleichzeitig Null sein, deshalb hat dein Kommilitone recht, wenn er die Bedingungen auf diese Weise kombiniert. Was noch fehlt ist die Typbestimmung, zum Beispiel ueber die 2. Ableitung (Hesse-Matrix).
Du kannst auch die Funktionsgleichung etwas anders schreiben, um einen besseren Ueberblick zu bekommen, etwa
f(x,y)= [y+1/y] - 2[2x+1/2x]
Da kannst du erkennen, dass die Funktion fuer sehr grosse und sehr kleine x und y (d.h. auf dem Rand der fraglichen Gebiete) aehnliche und grosse Werte annimmt, waehrend fuer |y|=1 und |2x|=1 die betragsmaessig kleinsten Werte auftauchen.
sotux |
Katharina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2006 - 08:05: |
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Hi Sotux,
alles klar, danke! Den ersten Teil der Aufgabe habe ich jetzt verstanden, was mir noch nicht so ganz klar ist, ist das mit den absoluten Maxima bzw. Minima und auch, was mir der Hinweis sagen soll, verstehe ich nicht.
Könntest du mir da evtl. noch mal weiterhelfen?
Danke! |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 830
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2006 - 23:01: |
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Hi Katharina,
du kannst zum Beispiel so argumentieren:
Im Gebiet x>0,y<0 ist nur ein kritischer Punkt, das ist ein lokales Maximum und mehr lokale Maxima kann es nicht geben. Groessere Werte koennten also nur auf dem Rand des Gebietes auftreten und da geht immer mindestens einer der Summanden gegen -oo und der Rest ist beschraenkt, also geht die Summe f auch gegen -oo und damit ist das lokale auch ein globales Maximum.
Ganz entsprechend hast du auf x<0,y>0 ein lokales und globales Minimum.
Auf den anderen beiden Quadranten laufen die Terme in unterschiedliche Richtungen, d.h. da gibts keine globalen Extrema und auch an den kritischen Stellen sind nur Sattelpunkte und keine lokalen Extremstellen.
Der Hinweis in der Aufgabe geht in die gleiche Richtung und betrachtet nur die eine Haelfte des Randes. Das Entscheidende ist, dass der Ausdruck a+1/a fÜr a->0+ und a->+oo jeweils gegen +oo geht (und fuer a=1 das Minimum 2 annimmt).
sotux |
Katharina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2006 - 21:43: |
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OK, ich glaube, das habe ich verstanden. Vielen Dank dafür, hast mir sehr weitergeholfen!
Katharina |
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