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Eva191105 (Eva191105)
Mitglied
Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2006 - 20:22: | 
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Hallo!
Ich habe einige Probleme beim Lösen dieser Aufgabe, finde nicht wirklich einen Zugang. Könnt ihr mir helfen?
Im folgenden bezeichnet == das Kongruentzeichen.
Es sei p eine Primzahl, F:=Z/pZ (Restklassenkörper modulo p); F[X] bezeichne den Polynomring in einer Unbestimmten über dem Körper F.
a) Durch Grad- und Nullstellenvergleich zeige man, dass in F(X) gelten: X^(p-1)-1=(X+!)(X+2)...+(X+(p-1)), (X+1)^p-(X+1)=X^p-X.
b) Aus der ersten Relation in a) folgere man den Satz von Wilson, aus der zweiten die Gültigkeit von (p über j)==mod p für 1<=j<=p-1
c) Zeige: Für m,n aus IN mit ggT(m,p)=1 und für k aus IN_0 mit 0<=k<=m gilt ((mp^n) über (kp^n))==(m über k) mod p. (Hinweis: Warum ist (x+1)^((p^n)m=(X^(p^n)+1)^m in F[X]?) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1555
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2006 - 21:26: |
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a)
X^(p-1)-1=(X+1)(X+2)...+(X+(p-1))
in F gilt:
-p+1 = 1
-p+2 = 2
...
-p+k = k
z.B. p = 2
X^1 - 1 = (X+1) = (X-1)
fertig
z.B. p = 3
X^2 - 1 = (X+1)(X+2) = (X+1)(X-1)
fertig
z.B. p = 5
X^4 - 1 = (X+1)(X+2)(X+3)(X+4) = (X+1)(X+2)(X-2)(X-1) = (X^2-1)(X^2-4) = (X^2-1)(X^2+1) = X^4-1
fertig
z.B. p = 7
X^6 - 1 = (X+1)(X+2)(X+3)(X+4)(X+5)(X+6) = (X+1)(X+2)(X+3)(X-3)(X-2)(X-1) = (X^2-1)(X^2-4)(X^2-9) = (X^2-1)(X^2+3)(X^2-2) =
(X^4-X^2+3X^2-3)(X^2-2) = (X^4+2X^2-3)(X^2-2) =
X^6+2X^4-3X^2-2X^4-4X^2+6 = X^6-7X^2+6 = X^6-1
fertig
das allgemein zu zeigen würd mich jetzt auch interessieren ...
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Eva191105 (Eva191105)
Mitglied
Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2006 - 19:57: |
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Ähm, danke für die Antwort. Aber Hilfe, ich versteh ja gar nichts.
Wieso ist das alles gleich? X ist doch keine Primzahl, also warum sollen die Regeln auch für X gelten? Und auch wenn die gelten, wieso wird dann aus (X+1) einfach (X-1) bzw. aus (X+1)(X+2) wird (X+1)(X-1)???
Die Lösung werd ich natürlich gerne posten, sobald ich sie vorgerechnet bekommen habe. Bis morgen früh werde ich von dieser Aufgabe wohl kaum noch etwas beweisen können, so schade das ist... :-( |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1556
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2006 - 20:14: |
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sie gelten eh für X nicht, aber
X+p = X, weil ja X und X+p im Restklassenkörper Z/pZ
der selben Restklasse angehören;
analoges gilt für
X+p-1 = X-1
X+p-2 = X-2
X+p-3 = X-3
...
X+p-k = X-k
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2048
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2006 - 18:04: |
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Hallo Eva
Beim ersten Teil von a) musst du einfach den kleinen Satz von Fermat anwenden. Ich mache mal beim zweiten Teil vor wie es dann weiter geht.
Zweiter Teil:
(X+1)p-(X+1)=(X+1)((X+1)p-1-1)
Nach Fermat gilt (X+1)p-1-1=0 für alle X aus {0,...,p-2}.
Also hat das Polynom die Nullstellen 0,1,...,p-1.
Xp-X=X*(Xp-1-1) hat nach dem Fermat-Satz die gleichen Nullstellen.
Da auch der Grad der beiden Polynome übereinstimmt, müssen sie gleich sein!
b)
Satz von Wilson:
p prim <=> (p-1)! º-1(mod p)
"<=": Angenommen p=ab wäre eine zusammengesetzte Zahl, das heißt a>1, b>1.
Dann teilt a auf jeden Fall (p-1)! und damit nicht
(p-1)!+1. Also teilt auch p nicht (p-1)!+1. Widerspruch, also ist p prim.
"=>": Setze in der ersten Gleichung aus a) X=0. Es folgt (p-1)! º -1(mod p)
Soweit erstmal.
MfG
Christian |
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