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Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Januar, 2006 - 15:41: | 
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Hallo zusammen.
Ich habe mal eine Frage zu den Monotoniegesetzen in Z bzw. habe ich die Aufgaben schon versucht zu lösen und möchte nun wissen, ob die so richtig sind. Deshalb wäre es super, wenn mir die hier jemand korrigieren könnte.
Also zuerst sollen die Monotoniegesetzeder Addition und der Multiplikation schrittweise hergeleitet werden:
Addition: x <= y -> x+c <= y+c
Vorraussetzung: x <= y <=> y=x+t
Beh.: x+c <= y+c <=> y+c = x+c+u
Beweis: y= x+t |+c
y+c = x+t+c
y+c = x+c+t (t=u)
<=> x+c <= y+c
q.e.d.
Entsprechend für die Multiplikation dann genauso, aber anstatt des + dann natürlich ein *.
Jetzt soll man folgende Bezieungen auf die gleiche Weise beweisen.
a) (a <= b und c <=d) <-> a+c <= b+d
Meine Lösung dazu:
Voraussetzung: a<=b und c<=d <-> b=a+s und d=c+t
Beh.: a+e <= b+e <-> b+e=a+e+u und c+f <= d+f <-> d+f= c+f+v
Beweis: b= a+s |+e ||und d= c+t |+f
b+e=a+s+e || d+f=c+t+f
b+e=a+e+s (s=u) || d+f=c+f+t(t=v)
<-> a+e <= b+e || <-> c+f <= d+f
q.e.d
Diese beiden Striche || sollen eigentlich nur die beiden Aufgaben voneineander trennen.
Multiplikation: a<=b und c <=d) -> a*c <= b*d
Dann genauso wie die Addition mur anstatt + dann wieder * einsetzen.
Noch eine kurze Frage dazu: In welchem Fall bzw. für welche Variablen kann auch 0 zugelassen werden?
Hoffe, dass das so richtig ist.
Gruß Julia |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 744
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Januar, 2006 - 22:11: |
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Hi Julia,
dein Nachweis fuer die Addition sieht gut aus, deine Bemerkung "Entsprechend fÜr die Multiplikation dann genauso, aber anstatt des + dann natÜrlich ein *." wuerde ich aber nicht uneingeschraenkt gelten lassen, zumindest solltest du auf die Vorzeichenproblematik beim Multiplizieren eingehen, die es bei der Addition nicht gibt.
Die Behauptung unter a ist nur in einer Richtung richtig, vermutlich ein Tippfehler, bei der Multiplikation stimmt es naemlich.
Der Beweis geht so:
a<=b und c<=d <-> b=a+s und d=c+t , s und t >= 0
b+d=a+s+c+t=a+c+(s+t) und s+t >= 0, also auch
a+c <= b+d
Es ist uebrigens sehr gefaehrlich, bei Beweisen Sachen wegzulassen, auch so Standardformeln wie "es gibt" oder "fuer alle" !!!
sotux |
Carolina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Januar, 2006 - 08:52: |
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Und in welchem Fall bzw. für welche Variabeln kann auch 0 zugelassen werden? |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 747
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Januar, 2006 - 09:59: |
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Hi,
da wir uns in Z bewegen und immer nur <= verwenden kann die 0 ueberall auftauchen. Bei der Multiplikation bleibt <= ja richtig, selbst wenn wir mit 0 durchmultiplizieren und auf beiden Seiten wieder nur 0 herausbekommen. Bei < haetten wir ein Problem damit.
sotux |
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