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Beitrag |
    
Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Dezember, 2005 - 15:31: | 
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Hallo noch mal,
nun meine letzte Aufgabe. Die sieht so aus:
Ich habe jetzt den Zähler so aufgeteilt:
(x+1)^2(x-5)(x+4)
Der Nenner sieht so aus: (x+1)(x-3)(x+2)
Meine Frage ist jetzt: Welches sind die Definitionslücken? Alle drei (also -1,3,-2) oder nur die beiden, die nach dem Kürzen übrig bleiben? Und sind die Polstellen identisch mit den Definitionslücken?
Die Nullstellen sind doch einfach -1 (doppelt), 5 (einfach) und -4 (einfach), richtig?
Und meine Darstellung von f(x) auf die andere Art, die in der Aufgabenstellung steht, sieht so aus:
f(x)=x+1-14/(x+2)-56/[(x+2)(x-3)]
Stimmt das auch?
Vielen lieben Dank,
Julia |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1680
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Dezember, 2005 - 18:10: |
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Hallo Julia,
diejenigen Stellen, die sowohl im Nenner als auch im Zähler als (einfache) Nullstellen auftreten (und durch deren Linearfaktoren man folglich kürzen kann), sind Definitionslücken, jedoch keine Polstellen! Nach dem Kürzen kann man den verbleibenden Term mit der nunmehr herausgefallenen Nullstelle belegen und das Ergebnis dieser Definitionslücke zuordnen. Damit haben wir eine zunächst vorliegende Unstetigkeit behoben; man spricht daher bei solchen Stellen von hebbaren Unstetigkeitsstellen. In deinem Fall ist bei x = -1 eine Definitionslücke; durch Zuordnung von f(-1) = 0 wird der Punkt (-1|0) zu dem Graphen hinzugefügt und somit die Lücke geschlossen.
Ist im Nenner eine doppelte Nullstelle, von denen zwar eine durch das Kürzen herausgefallen ist, aber die andere noch immer vorhanden ist, dann stellt diese eine Polstelle dar, weil für diese der Term gegen Unendlich geht.
Die von dir berechnete Darstellung von f(x) als Summe eines ganzrationalen Polynoms und zwei gebrochenrationalen Restpolynomen ist richtig!
Gr
mYthos |
Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Dezember, 2005 - 16:10: |
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Hallo Mythos,
alles klar, vielen Dank dafür!
Grüße, Julia |
Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Dezember, 2005 - 17:39: |
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Noch mal hallo,
so ganz blicke ich immer noch nicht durch, glaube ich. Ich habe nun:
Nullstellen der Funktion sind bei -1, -4 und 5. Ist das bei -1 dann eine doppelte Nullstelle oder auch eine einfache? Also betrachte ich sie sozusagen vor oder nach dem Kürzen?
Definitionslücken der Funktion sind bei -1, 3 und -2?
Und zu den Polstellen: Die wären dann in diesem Fall bei 3 und bei -2?
Wäre lieb, wenn du (oder jemand anderes) das noch mal kontrollieren könnte.
Grüße, Julia |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1682
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Dezember, 2005 - 20:59: |
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Hallo Julia!
-1 ist KEINE doppelte Nullstelle, weil das Polynom erst NACH dem Kürzen zu diskutieren ist. Andernfalls - also wenn -1 eine doppelte Nullstelle wäre - müsste dort eine Berührung der x-Achse stattfinden, was definitiv nicht der Fall ist.
Bei -1 besteht demnach nur eine hebbare Lücke [(-1|0)], währenddessen bei 3 und - 2 echte Polstellen (und natürlich auch Definitionslücken) bestehen. Man erkennt diese beim Graphen daran, dass sich an diesen Stellen vertikale Asymptoten der Kurve befinden.
Hast du schon einmal den Graphen der Funktion gezeichnet (bzw. geplottet)?
Gr
mYthos |
Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 10:52: |
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Hallo Mythos,
noch mal danke! Der Tipp mit dem Plotten war gut, jetzt weiß ich auch, was du meintest mit der Berührung der x-Achse an der Stelle -1. Ich denke, jetzt ist die Aufgabe "gelöst".
Dankeschön!
Julia |
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