| Autor |
Beitrag |
    
Florina (Florina)
Neues Mitglied
Benutzername: Florina
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 14:37: | 
|
Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind. Begründen Sie jeweils ihre Antwort auf zwei verschiedene Weisen.
a) 2308 = 818 mod 17 (modulo)
2) -324 = 456 mod 26
3) -1728 = 4374 mod 17
-------------------------------------------------
Aufgabe 2)
a) Welchen Rest lässt 2^81 bei Division durch 5b) Mit welcher Ziffer endet die zahl 3^80 (d.h. welchen rest lässt 3^80 bei Division durch 10)?
Jetzt kurz vor der Weihnachtszeit mit Matheaufgaben zu kommen ist natürlich nicht gerade nett, aber ich brauche noch einmal in diesem jahr eure Hilfe...
vielen vielen dank!!! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1650
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 19:57: |
|
Hallo!
1
a)
Überprüfe, ob 2308 und 818 bei Division durch 17 denselben Rest hinterlassen
Es gibt auch noch diese Methode, indem du die Differenz der beiden Zahlen auf den Rest bei Division durch 17 untersuchst, dabei muss bei Kongruenz der Rest 0 sein.
b)
wie a)
Bei der Differenz-Methode ist 456-(-324) = 456 + 324 zu bilden.
c)
wie o.a.
Anmerkung:
Bei der Untersuchung negativer Zahlen auf Kongruenz ist so zu dividieren, dass der Rest positiv wird.
Also z.B. -11 = (-4) mod 7 = 3 mod 7
2
a)
Wir suchen Kongruenzen der Zweierpotenzen, welche 1 betragen:
2^4 = 1 mod 5, 2^8 = 1 mod 5, 2^12 = 1 mod5;
Daraus folgt
- > 2^(4n) = 1 mod(5) bzw. 2^(4n + k) = 2^k
Da die Hochzahl 81 = 4*20 + 1 beträgt, ist
2^(81) = 2^80 * 2^1; 2^80 = 1 mod (5), somit
2^81 = 2 mod 5
°°°°°°°°°°°°°°°
b)
Versuche nun ähnlich wie in a) zu verfahren
(3^4 = 1 mod 10, ...)
Gr
mYthos |
Florina (Florina)
Neues Mitglied
Benutzername: Florina
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Dezember, 2005 - 12:37: |
|
Hallo. Vielen Dank fÜr die hilfe. doch alles ist so allgemein fÜr mich. deshalb hab ich noch ein paar fragen:
zu 1) - haben sie geschrieben:ÜberprÜfe, ob 2308 und 818 bei Division durch 17 denselben Rest hinterlassen
meine rechnung also:
2308= 17*135+13
135= 10*13+5
13=2*5+3
5=1*3+2
3=1*2+1
2=1*2+0
oder hat das nichts damit zu tun und es kommt nur darauf an:
2308 = 17*135 Rest 13
818 = 17*48 Rest 2
( dies wÜre dann ein beweis, das die aussagen nicht wahr wÜre.)
allerdings: bei der differenz: 2308-818= 1496
und 1496/17 = 88 (und das geht ja auf)!!! oder hab ich einen fehler irgendwo gemacht??? |
Florina (Florina)
Neues Mitglied
Benutzername: Florina
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Dezember, 2005 - 12:44: |
|
ist bei der aufgabe 2 das ergebnis: 3^80 = 1 mod 10??
ich hoffe es doch, oder???
vielen dank fÜr die hilfe!!! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1652
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Dezember, 2005 - 15:15: |
|
Hallo,
Die Differenz 2308 - 818 ist NICHT 1496, sondern 1490. Bei der Division durch 17 verbleibt somit der Rest 11. Die Differenz der beiden anderen Reste 13 und 2 muss klarerweise ebenfalls 11 betragen!
Und bei der 2. Aufgabe ist 3^80 = 1 mod 10, das ist richtig, und daher ist 3^81 kongruent 3 mod 10.
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1653
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Dezember, 2005 - 18:33: |
|
Bemerkung:
Allgemein gilt für die Kongruenz einer Potenz mod n, deren Hochzahl als k*s + r geschrieben werden kann (k, s, r € N):
a^(k*s + r) mod n =
= ((a^k)^s mod n) * (a^r mod n) =
= (a^k mod n)^s * (a^r mod n)
Damit kann die Restklasse jeder beliebigen Potenz mod n bestimmt werden.
Gr
mYthos |
Florina (Florina)
Junior Mitglied
Benutzername: Florina
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Dezember, 2005 - 20:29: |
|
Hallo Mythos 2002
ich habe die zweite aufgabe nun verstanden. danke. aber die erste also. ich hab bei b) nun das hier raus... (kann aber leider nicht richtig sein!)
b) -324 = 456 mod 26
-324 = 26*(-12)-12
456 = 26 * 17 + 13
(wobei ich nicht weiÜ ob der rest im negativen bereich sein darf!!!)
und die differenz-methode:
456-(324)= 456+324=780
780=26*30 ohne rest!!!
was hab ich falsch gemacht?? |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 695
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Dezember, 2005 - 23:05: |
|
Hi,
456 = 26 * 17 + 14 und -324 = 26 * (-13) + 14
(-12 und 14 sind modulo 26 gleich)
sotux |
Florina (Florina)
Junior Mitglied
Benutzername: Florina
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 12:28: |
|
OK vielen dank. das habe ich nun gelÜst... ging alles glatt auf.. bei b) ABER bei der c) -1728 = 4374 mod 17 hab ich folgendes raus:
-1728 = 17*(-102) +6
4374 = 17* 257 + 6
doch bei der differenzprobe:
4374-(-1728) = 6102
6102 = 17*358 + 16
Aber das soll ja die differenz der anderen beiden rste sein und dies ist nicht der fall...  ich dacte ich hÜtte es nun soweit verstanden..
florina
eine letzte keine hilfe??!!  danke |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1656
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Dezember, 2005 - 17:07: |
|
Hallo,
es kann nicht sein, was nicht sein darf - immer diese verflixten Rechenfehler .. ;-)
4374 = 17* 257 + 6 < - DAS stimmt nicht (um 1)!
Alles andere passt. Du hast es also doch verstanden, versuch' halt, die RF hintanzuhalten!
Bemerkung noch:
Du kannst durchaus auch mit negativen Resten rechnen. Verbleibt z.B. bei der Division durch 17 der Rest -16, ist die Zahl kongruent 1 mod 17 (zum negativen Rest ein Mal 17 addieren).
Gr
mYthos |
Florina (Florina)
Junior Mitglied
Benutzername: Florina
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 20:25: |
|
Vielen vielen Dank. Etwas spÜt, aber ernst gemeint!! UND einen guten Rutsch ins neue Jahr 2006 |
