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Dudi (Dudi)
Junior Mitglied Benutzername: Dudi
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. September, 2005 - 18:14: |
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brauche hilfe bei folgender aufgabe: berechne Int Int [y*(1 + x^2 + y^2)^(-3/2)] dxdy beide integrale gehen jeweils von 0 bis 1. vielen dank schonmal |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 630 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. September, 2005 - 21:35: |
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Hi, fang doch mal damit an die Integrationsreihenfolge zu vertauschen und eine Substitution zu versuchen, z.B. mit dem was unter der Wurzel steht, also u=1+x^2+y^2 und du=2y*dy. sotux |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1068 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. September, 2005 - 08:45: |
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Dudi, Hinweis: (d/dy)[(1+x2+y2)-1/2] = - y*(1+x2+y2)-3/2 => ò0 1 y*(1+x2+y2)-3/2 dy = 1/sqrt(1+x2) - 1/sqrt(2+x2) mfG Orion
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1547 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. September, 2005 - 12:44: |
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Hinweise zur Loesung: Das erste unbestimmte Integral ist somit -1/(sqrt(x^2 + y^2 + 1) mit den Grenzen 0;1 ergibt sich -1/sqrt(x^2 + 2) + 1/sqrt(x^2 + 1) Nun muss dieser Term noch nach x integriert und die Grenzen 0:1 eingesetzt werden. Dazu muss bekannt sein, dass int(dx/sqrt(x^2 + 1) = arsinh(x) + C, bzw. int(dx/sqrt(x^2 + 2) = (1/sqrt(2))*arsinh(x) + C und wegen: arsinh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1)) ist somit int(dx/sqrt(x^2 + 1) = ln(x + sqrt(x^2 + 1)) + C und int(dx/sqrt(x^2 + 1) = ln(x + sqrt(x^2 + 2)) - ln(sqrt(2)) + C1 letzteres ist mit C = C1 + ln(sqrt(2)) dann .. = ln(x + sqrt(x^2 + 2)) + C Daher muessen die Grenzen [0;1] in den Term - ln(x + sqrt(x^2 + 2)) + ln(x + sqrt(x^2 + 1)) eingesetzt werden, dabei erhalten wir ln(2 + sqrt(2)) - ln(1 + sqrt(3)) = 0,2229 Bemerkung: CAS wie Abakus oder Derive berechnen dieses Doppelintegral zwar numerisch richtig, algebraisch aber teilweise ziemlich umstaendlich (das ist allgemein eine Schwaeche von CAS), sodass sie zwar eine gute Hilfe darstellen, aber an den geeigneten Stellen selbst Hand anzulegen ist. Man sollte also dabei immer wissen, was man tut. Gr mYthos |
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