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Buzzy (Buzzy)
Junior Mitglied
Benutzername: Buzzy
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juli, 2005 - 12:53: | 
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Hallo.
Ich hab hier zwei Aufgabe aus der Übungsklausur vom Prof, aber leider habe ich keinen Schimmer, wie ich die beweisen könnte.
Könnt ihr mir bitte helfen?
Wäre super!
Danke schon mal,
BuZzY
1)
Die Funktionen y_1,...,y_n:I->R seien n-mal stetig diffbar und die Wronskische Determinante der Funktion y_1,...,y_n sei nullstellenfrei auf I. Zeige: Es gibt genau ein System von stetigen Funktionen a_1,...,a_n:I->R, so dass y_1,...,y_n ein Hauptsystem der DGL y^(n)+a_1y^(n-1)+...+a_(n-1)y'+a_ny=0 ist.
2)
Die Funktionen y_1,...,y_n:I->R^n seien stetig diffbar und die Determinante |y_1,...,y_n| sei nullstellenfrei auf I. Zeige: Es gibt genau eine stetige Funktion A:I->M(nxn,R), so dass die Funktion y_1,...,y_n ein Hauptsystem der DGL y'=Ay bilden. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1065
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juli, 2005 - 16:23: |
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Buzzy,
Hinweis:
1) Es soll für k = 1,...,n gelten
a1yk(n-1) + ... + a0yk = - yk(n)
Das ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
für a1,...,an. Wi sei die Determinante, welche
aus der Wronskideterminante W entsteht, indem man
die k-te Spalte durch y1(n),...,yn(n)
ersetzt. Dann ist nach der Cramer'schen Regel
ai = Wi/W , i = 1,...,n
2) Es soll gelten
(*) yi' = A yi , i=1,...,n.
Fasse die Spaltenvektoren yi als Spalten der Matrix
Y auf , dann lautet (*) als Matrixdifferentialgleichung
Y' = A Y.
Nach Vor. ist det Y nullstellenfrei, also Y invertierbar.
Somit leistet
A = Y' Y-1
das Verlangte.
mfG Orion
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Buzzy (Buzzy)
Junior Mitglied
Benutzername: Buzzy
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juli, 2005 - 13:02: |
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Danke erstmal!
2) habe ich verstanden und nu wohl auch komplett gelöst.
1) verstehe ich allerdings nicht, könntest du mir das bitte erklären?
BuZzY |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1066
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Juli, 2005 - 14:27: |
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Buzzy,
Das ist nichts anderes als lineare Algebra (Lineare
Gleichungssysteme !) Allerdings müsste es wegen des - -Zeichens auf der rechten Seite ai = - Wi/W
heissen. Schreib Dir das doch mal z.B. für n=2 oder 3
explizit hin !
mfG Orion
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