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Polynome über endliche Körper

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Sabile (Sabile)
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Mitglied
Benutzername: Sabile

Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 11:56:   Beitrag drucken

Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen ich weiß nähmlich nicht wie ich das machen soll .

Der Körper Z_5 hat die Elemente {0, 1, 2, 3, 4} und als Operationen die Addition und
Multiplikation modulo 5.

Untersuchen Sie , ob die drei folgenden Polynome über z_5 paarweise verschiedene Polynomfunktionen definieren oder nicht.

und b )Führen sie eine polynomdivison durch

(3x^3 + 2x +1) : (X+2)

Polynom division allgemein kann ich das ist kein problem ich weiß aber jetzt nicht genau auf was ich achten muss bei z_5 .
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1825
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 14:09:   Beitrag drucken

Hallo Sabile

Hier mal meine Rechnung
(3x^3+2x+1) : (x+2)=3x^2+4x+4+3/(x+2)
-(3x^3+6x^2)
----------
(4x^2+2x)
-(4x^2+3x)
----------
(4x+1)
-(4x+3)
----------
3
Ich hoffe es sind keine Fehler drin. Du musst halt nur immer alle Koeffizienten modulo 5 nehmen.
Oben z.B. -6x^2=4x^2

Und ob Polynome die gleiche Funktion darstellen, dafür musst du nur jeden Wert einsetzen und modulo 5 rechnen.

MfG
Christian
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Sabile (Sabile)
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Mitglied
Benutzername: Sabile

Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 18:30:   Beitrag drucken

kannst du mir vileicht mit ein zwei beispielen zeigen wie ich mod 5 rechne ?
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1826
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 18:50:   Beitrag drucken

Hallo Sabile

Das ist im Prinzip nur Teilen mit Rest.
Zum Beispiel hinterl�sst 7 bei Division durch 5 den Rest 2. In Z_5 gilt dann 7=2. Bei kleinen Zahlen z kannst du so vergehen:
Ist z gr��er 4, so ziehst du solange 5 ab, bis du eine Zahl aus 0,1,2,3,4 erh�ltst. Diese ist dann gleich z in Z_5. Analog machst du es bei negativen Zahlen. D.h. du addierst so lange die 5, bis du in den Bereich 0,1,2,3,4 kommst.

Du kannst das nat�rlich auch als Mengen schreiben:
0={5*k ; k aus Z} (Z ganze Zahlen)
1={5*k+1; k aus Z}
.
.
.
4={5*k+4; k aus Z}

MfG
Christian
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Sabile (Sabile)
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Benutzername: Sabile

Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 19:27:   Beitrag drucken

TUT mir leid ich verstehe das immer noch nicht so genau :-( . Also wie es jetzt bei der Addtion oder Multiplikation läuft habe ich jetzt verstanden . Aber warum
-6x^2 = 4x^2 ist verstehe ich nicht .
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1827
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 20:29:   Beitrag drucken

Hallo Sabile

Du betrachtest immer nur die Koeffizienten. Bei -6x^2 schaust du dir also nur die -6 an. Jetzt gehst du vor wie ich es oben beschrieben habe. Du addierst so lange die 5, bis du eine Zahl aus 0,1,2,3,4 erhältst. Hier ist -6+5+5=4. Also gilt -6=4 in Z_5.
Also -6x^2=4x^2.
Du kannst das auch über die Mengen oben begr�nden:
-6 und 4 liegen in 4={5*k+4; k aus Z}

MfG
Christian

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