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Beitrag |
    
Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 130
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 09:22: | 
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Hallo,
Gegeben eine natürliche Zahl N der Form N = k^2 + 1 (k nat. Zahl).
Wie finde ich jetzt alle Zahlen M derselben Form, die ein Vielfaches von N sind?
Bsp.:
N = 4^2 + 1 = 17
Dann ist eine Lösung z. B. M = 13^2 + 1 = 170 = 10*N.
Oder M = 21^2 + 1 = 442 = 26*N
Interessanterweise sind 10 und 26 selbst von dieser Form...
Gruß,
Kay S.
(Beitrag nachträglich am 19., Mai. 2005 von kay_s editiert) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1335
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 11:43: |
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für k = 1 würds so aussehen
k = 1 => N = 1^2 + 1 = 2
und vielfache davon wären gerade, und die dazugehörende Quadratzahl ist ungerade
(2h+1)^2 + 1 = 4h^2 + 4h + 2 = 2(2h^2 + 2h + 1)
für h aus IN bekommst so die Werte von M
für k = 3 würds so aussehen
k = 3 => N = 3^2 + 1 = 10
für alle h aus IN mit h == 3 (mod 10) gilt: M = (10h + 3)^2 + 1 ist ein Vielfaches von N
für k = 7 würds so aussehen
k = 7 => N = 7^2 + 1 = 50
für alle h aus IN mit h == 7, 43, 57 oder 93 (mod 100) gilt: M = (100h + q)^2 + 1, mit q aus {7, 43, 57, 93} oder M = (50h +/- 7)^2 + 1 mit h aus IZ
für k = 4 siehts a bissi komplizierter aus
k = 4 => N = 4^2 + 1 = 17
M = (ph + q)^2 = p^2h^2 + q^2 + 2pqh
21 = ph1 + q1
13 = ph2 + q2
8 = p(h1 - h2) + (q1-q2)
falls nur ein q existiert, mal folgendes probieren zu lösen
8 = p(h1 - h2)
21 = 3*8 - 3 = 2+8 + 5
13 = 2*8 - 3 = 8 + 5
wie siehts mit 3*8 + 5 aus?
29^2 + 1 = (30-1)^2 + 1 = 900 - 60 + 1 + 1 = 842, ist nicht durch 17 teilbar; aber 30^2+1 ist durch 17 teilbar
30 = 2*17 - 4 = 17 + 13
13 = 17 - 4 = 0*17 + 13
wie sieht es mit 2*17 + 13 aus?
47^2 + 1 = (50-3)^2 + 1 = 2500 - 300 + 9 + 1 = 2210 ist durch 17 teilbar
Vermutung: ((k^2+1)*h +/- k)^2 + 1 ist durch k^2 + 1 teilbar
((k^2+1)h +/- k)^2 + 1 = (k^2+1)^2h^2 + k^2 +/- 2kh(k^2+1) + 1 = (k^2+1)^2h^2 + k^2+1 +/- 2kh(k^2+1) = (k^2+1)[h^2(k^2+1) +/- 2kh + 1]
fertig.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1336
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 20:52: |
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ich hab im vorangegangen Posting eine schöne allgemeine Formel gezeigt, mit der man für jedes beliebige k, vielfache bestimmen kann, welche in der Form k^2+1 sind;
kann jemand verifizieren, ob das alle Vielfache sind, welche zu einem bestimmten k möglich sind?
N = k^2 + 1, k aus IN
M = ((k^2+1)*h +/- k)^2 + 1, h aus IZ
oder anders gefragt: gibt es zu einem N ein Vielfaches, zu welchem es kein h gibt?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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