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Crowmat (Crowmat)
Junior Mitglied
Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 14:36: | 
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Hallöchen zusammen!
hab furchtbare Probleme bei dieser aufgabe!
und zwar soll ich die extremstellen von f(x,y) := 2y²-3xy-x² auf dem einheitskreis x²+y²=1 bestimmen!
habs mit Lagrange versucht( die vorraussetzungen stimmen alle) und komme auf folgendes gleichungssystem:
(ich schreib statt lambda mal a ok)?
-3y-2x+2ax=0
4y-3x+2ay =0
x²+y²=1
Ich hab schon etliche ansätze gemacht wie ich dieses gleichungssystem lösen kann, aber alle mich nicht weitergebracht!am vielversprechensten fand ich die ersten zwei gleichungen nach a y aufzulösen und gleichzusetzen, um a zu ermitteln!Hat auch geklappt ( a1=-0,5+wurzel(9/2) und a2=-0,5 -Wurzel(9/2))
wenn ich das aber nun in die ersten zwei gleichungen einsetze , hab ich aber das Problem das das die ersten zwei gleichungen nun zwar nur noch aus x und y bestehen, die dirtte aber aus deren quadraten!wenn ich jedoch die erste und zweite addiere komm ich für y oder x auf 0, was mit den andern gleichungen als keine lösung möglich ist!!! was also tun???? ICH WEIß wirklich nicht mehr weiter! zwischendurch hab ichs auch mal ohne lagrange versucht, aber das sieht auch nicht unbedingt einfacher aus!!!!:-(
wäre wirklich für einen tipp dankbar!!!! |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2802
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 15:19: |
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versuche doch mal x = sinu, y = cosu
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Crowmat (Crowmat)
Junior Mitglied
Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 15:31: |
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wo so ich das versuchen, beim ansatz der lagrange multiplikation?aber was soll mir das denn bringen? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1023
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 15:40: |
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Crowmat,
Hinweis:
Die beiden ersten Gleichungen sind linear und homogen bzgl. x,y und besitzen genau dann nicht-
triviale Lösungen, wenn die Determinante des Systems = 0 ist. Das ergibt eine quadratische Gleichung für a.
mfG Orion
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Crowmat (Crowmat)
Junior Mitglied
Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 15:54: |
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ne quadratische gleichung für a hab ich und mit pq formel auch ein ergebnis!nur leider komm ic h danach wie in meinem ersten beitrag geschildert einfach nicht weiter *seufz*
aber trotzdem danke für eure mühe |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5114
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 16:37: |
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Hi allerseits
Diese Aufgabe hat es in sich; sie stellt den Schlüssel zur
Hauptachsentransformation der Kegelschnitte dar.
Es könnte daher recht nützlich sein, wenn wir mit Bedacht
auf das allgemeine Problem eingehen, besonders an Pfingsten.
Das Ergebnis bleibt so besser in Erinnerung.
Die Aufgabe lautet :
Man ermittle das Maximum und das Minimum der quadratischen Form
F(x,y) = A x ^2 + 2 B x y + C y^2 auf dem Einheitskreis
x ^ 2 + y ^2 = 1
Die Extreme existieren sehr wohl, da die Funktion F(x,y) auf einer abgeschlossenen Punktmenge berechnet wird.
Lösung
Die quadratische Form
z = F(x,y) = A x ^2 + 2 B x y + C y ^2;
ist eine Funktion zweier Variablen x, y
Uns interessieren nur die Werte von z für die
Nebenbedingung: der Punkt P(x/y) bewegt sich auf dem Einheitskreis x^2 + y^2 = 1.
Also: P durchläuft den ganzen Kreis und wir fragen insbesondere: wo genau auf diesem Kreis
nimmt z seinen größten Wert an, wo den kleinsten?
Wir parametrisieren, indem wir den Kreis durch die
Parameterdarstellung x = cos t, y = sint
charakterisieren und so in den Griff bekommen.
Diese Parameterdarstellung setzen wir in F(x,y) ein
und erhalten eine Funktion PSI:
PSI(t) =A (cos t)^2 + 2 B cos t sin t + C (sin t ) ^2.
Beachte : der mittlere Summand kann auch
B sin( 2t ) geschrieben werden.
Die Ableitung nach t lautet demgemäß (Kettenregel)
d(PSI(t)) / dt =
- 2 A cos t sin t + 2 B cos (2 t) + 2 C sint cos t
führt man nun konsequent den doppelten Winkel 2t ein,
so entsteht:
d(PSI(t)) / dt = - A sin(2t) + 2B cos(2t) + C sin (2t)
Um die Extremalstellen zu finden, setzen wir diese
Ableitung null:
- A sin(2t) + 2B cos(2t) + C sin (2t) = 0
Division beider Seiten mit cos (2t) liefert die Beziehung
tan ( 2 t ) = 2 B / ( A – C )
Das ist eine Gleichung zur Bestimmung des Winkels 2 t, die uns wohlbekannt vorkommt. Wir erhalten mit Ihr cum grano salis die Achsenrichtungen des durch die Gleichung
F(x,y) = constans gegebenen Kegelschnitts.
Die vier t Werte im Intervall [0,2Pi] liefern vier Punkte
E1,E2,E3,E4 auf dem Einheitskreis.
Die Achsenrichtungen sind die Ursprungsgeraden E1E3 und E2E4.
Die Punkte selbst liefern je ein Max, ein Min, ein Max, ein Min.
Mehr davon später!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5115
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 16:41: |
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Hi Crowmat
Setz in meiner Arbeit Deine Zahlenwerte ein,
und Du bist am Ziel!
Lass Lagrange diesmal auf der Seite.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2803
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 16:47: |
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@Megamath:
danke. War mein tip also durchaus sinnvoll.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Crowmat (Crowmat)
Junior Mitglied
Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 17:00: |
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wow, also zunächst mal vielen dank für eure schnellen reaktionen!ich muß mich zwar noch durch die formeln kämpfen aber immerhin hab ich jetzt einen ansatz! ich frag mich nur wie ich ohne euch je darauf hätte kommen sollen! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5116
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 17:06: |
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Hi Friedrich
Das wollte ich sagen; in diesem Fall ist das
der beste Weg!
MfG
H.R. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5117
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 18:29: |
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Hi Crowmat
Wenn Du meinen Rat befolgt hast,
bekommst Du die Winkel 2 * t1 = 45° und 2 * t2 = 225°,
das reicht. (die andern bekommst Du durch Addition von je
180°).
Für die einfachen Winkel gibt das t1 = 22,5°;
t2 = 112,5°
Berechne nun die Koordinaten der zugehörigen Kreispunkte
E1,E2 mit Hilfe der Formeln x = cos t, y = sin t.
Schliesslich bestimmst Du den Maximal- und den Minimalwert von F(x,y).
Diese Werte gebe ich Dir später bekannt.
Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5119
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 20:24: |
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Hi crowmat
Die beiden massgeblichen Punkte E1 und E2 sind in Naeherungen:
E1(0,9239 / 0,3827)
E2(-0,3827 / 0,9239)
Im Punkt E1 hat z ein absolutes Minimum: z min ~ -1,6214
Im Punkt E2 hat z ein absolutes Maximum: z max ~ 2,7679
Wir koennten eine Kontrolle durchfuehren, indem wir
von einer bestimmten Matrix M die Eigenvektoren berechnen.
Verstehst Du davon etwas?
Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5120
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 22:04: |
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Hi allerseits
Die gestellte Extremalaufgabe
(Maximum der quadratischen Form auf dem Einheitskreis)
kann wegen ihrer Bedeutung für die Hauptachsentransformation auch ohne Differentialrechnung geloest werden.
Man ermittelt die Eigenvektoren e1 und e2 der Matrix M
der quadratischen Form.
Die quadratische Form F(x,y) schreiben wir grundsaetzlich so:
F(x,y) = A x^2 + 2 B x y + C y^2.
In unserem Fall ist A = - 1 , B = - 1 / 2 , C = 2
M lautet zeilenweise so:
M: = matrix ([[A , B] , [B , C[]])
Die Eigenwerte L1, L2 gewinnt man aus der charakteristischen Gleichung in L:
L^2 – L – 17/4 =0
Lösungen:
L1 = 1 / 2 - 3/2 sqrt(2)
L2 = 1 / 2 + 3/2 sqrt(2)
Zu L1 gehört der Eigenvektor
e1 = {1 ; sqrt(2) - 1}
Die Steigung m1 dieses Eigenvektors im (x,y)-System ist
m1 = sqrt(2) - 1
Dies stimmt aber gerade, wie es sein muss, mit der Steigung der ersten Hauptachse OE1 überein, denn es gilt
tan 22,5° = sqrt(2) – 1,wie man leicht nachrechnet.
Zu L2 gehört der Eigenvektor
e2 = {1 ; - sqrt(2) - 1}
Die Steigung m2 dieses Eigenvektors im (x,y)-System ist
m = - sqrt(2) - 1
Dies stimmt aber gerade, wie es sein muss, mit der Steigung der zweiten Hauptachse OE2 überein, denn es gilt
tan 112,5° = - sqrt(2) – 1,wie man leicht nachrechnet.
Alles stimmt! Bravo!
Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5121
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 09:32: |
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Hi Crowmat,
Empfehlung:
Studiere jedes Détail meiner allgemeinen Herleitung des Ergebnisses tan (2 t) = 2 B / (A-C),
und schliesse aus dem allgemeinen Fall auf das Spezielle.
Merke Dir: t ist der Richtungswinkel
eines durch die quadratische Form
A x^2 + 2 B x y + C y^2 vorgegebenen Kegelschnitts.
Achte bei der Auswertung besonders auf den Faktor 2 beim gemischten Glied x y.
Vielleicht ist Dir der Einstieg ins numerische Beispiel nicht gelungen?
In unserem Fall ist A = - 1 , B = - 3 / 2 , C = 2
(Tippf. in einem früheren Beitrag:B = - 3 /2 , nicht – 1/2)
Daher:
tan (2 t ) = 2 * (-3 /2 ) / ( - 1 - 2 ) = 1
2 t = 45° oder 2 t= 225° usw.
Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5129
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 15:42: |
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Hi Orion
Ich komme zurück auf die Extremalaufgabe,
die Crowmat zu Pfingsten gestellt hat und die er
mit der Methode von Lagrange (L) lösen wollte.
Du hast ihm eine gute Hilfe geboten:
ein homogenes lineares Gleichungssystem
zu lösen und vorgängig die
entsprechende Determinante delta null zu setzen.
Das ist eo ipso eine gute Methode
und führt rasch zum Ziel.
Ich hatte Crowmat mehr oder weniger abgehalten,
darauf einzugehen und beinahe imperativ auf einem
andern Lösungsweg beharrt, der zu meiner
Lieblingsmethode bei dieser speziellen Aufgabe
geworden ist.
Rechnet man das Beispiel mit L durch, so entdeckt
man das Folgende:
Durch Nullsetzen von delta entsteht gerade die charakteristische Gleichung der Hauptachsentransformatin,
die ich in einem meiner Beiträge erwähnte.
Die Lösungen lambda von L stimmen mit den Eigenwerten
der quadratischen Form überein. Auich die Eigenvektoren zeigen sich!
Der Rest läuft von selber!
Gruss
H.R.Moser |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1024
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 16:45: |
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Megamath,
so ist es ! Da die Aufgabe offenbar aus dem Analysis-Umfeld erwachsen war, hatte ich in meinem kurzen
Lösungshinweis den Hinweis auf die Hauptachsentransformation unterlassen.
mfG Orion
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