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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1765
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 13:13: | 
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Hi,
das Thema hatten wir in Physik, es ist mir aber etwas verschlossen geblieben, wie diese "Funktion" in Integralen wirkt, wie bestimme ich z.B. folgendes:
a) ò-¥ ¥ f(x)d(a(x-x0)) dx ; a € IR
b) ò-¥ ¥ f(x)d(x2-x02) dx
c) ò-¥ 0 f(x)d(x-2) dx
Hoffe ihr könnt mir helfen...
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1766
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 20:50: |
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Hi,
hat niemand eine Idee?
Da bin ich wohl nicht der einzige dem dieses Thema sehr "komisch" vorkommt...
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 998
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. April, 2005 - 10:08: |
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Ferdi,
Dies müsste ich auch erst wieder ausgraben !
Soviel ich mich erinnere, geht man z.B. von der
Fourier-Transformation
F[f](x) := ò-¥ ¥ f(t) exp(-ixt) dt
aus und betrachtet speziell den Fall f = 1 :
d(x) := (1/2p) F[1].
Das konvergiert natürlich nicht. Man kann d(x)
aber durch sog. Dirac-Folgen approximieren.
Betrachte dazu
dn(x) := (1/2p)ò-n n exp(-ixt) dt.
Dann rechnet man nach, dass
dn(x) = sin(nx)/(px).
Man "definiert"
d(x) := lim<sub>n®¥</sub> dn(x).
Gern hätte man
ò-¥ ¥ d(x) dx = 1.
In der Tat rechnet man nach, dass für alle n
ò-¥ ¥ dn(x) dx = 1.
Dabei benutzt man das bekannte Integral
ò0 ¥ sin(u)/u du = p/2.
Wichtige Identitäten sind u.a.
ò-¥ ¥ f(x)d(x-a) dx = f(a)
d(g(x)) = Sr k=1 d(x-xk)/g'(xk)
Dabei ist g ein Polynom mit den einfachen Nullstellen
x1,...xk. Daher speziell
d(x2-a2) =
[d(x+a)+d(x-a)]/2|a|
(Beitrag nachträglich am 30., April. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1767
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Mai, 2005 - 22:47: |
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Hi Orion,
hab grade mal alles angeschaut.
So hatten wir das nicht eingeführt...aber so verstehe ich es jetzt wenigstens!! Danke...
Wir hatten die Funktion über eine Funktionenfolge eingeführt...
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1001
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Mai, 2005 - 07:49: |
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Ferdi,
Obiges dn (x) ist ja eine Funktionenfolge,
übrigens nicht die einzig mögliche. z.B. gäbe es da
noch
dn(x) = (n/sqrt(2p))exp(-n2x2/2)
Ich erinnere mich, früher einmal d benötigt
zu haben und versuchte, die sehr allgemeine Darstellung von L.Schwartz zu lesen, mit mässigem
Erfolg. Dann stiess ich auf das wunderschöne Büchlein von M.J.Lighthill: Introduction to Fourier
Analysis and Generalised Functions, Cambridge 1958.
Das ist sehr benutzerfreundlich und doch mathematisch streng !
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1768
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Mai, 2005 - 12:57: |
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Hi Orion,
wir hatten diese Darstellung (in Physik wohlgemerkt!), es scheint also wirklich sehr viele Darstellungen zu geben!
dn(x) := 1/n falls -1/n£x£1/n
dn(x) := 0 falls |x|>1/n
Wenn man nun integriert, dann erhält man mit
limn->0 dn(x) = d(x)
Bei Gelegneheit werde ich mal schauen, ob das Buch, das du empfiehlst in der Bibliothek vorhanden ist!
mfg |
