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Gazelle (Gazelle)
Neues Mitglied
Benutzername: Gazelle
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. März, 2005 - 12:56: | 
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Kann mir jemand den Unterschied zwischen R-linear und C-linear etwas näher bringen? |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 09:57: |
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Hallo Gazelle,
R-linear heißt, dass eine Funktion auf den reellen Zahlen linear ist, C-linear heißt, dass eine Funktion auf den komplexen Zahlen linear ist.
Das ist nicht dasselbe, denn wenn man z.B. für z=x+iy aus C definiert:
f(z):=x+iy2 ,
dann ist diese Funktion auf R linear, aber nicht auf C.
Gruß Dörrby |
Gazelle (Gazelle)
Neues Mitglied
Benutzername: Gazelle
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 14:08: |
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Wie kann ich die C-Linearität bzw. R-Linearität zeigen? Wie müssen dann die Konstanten beschaffen sein? Für C-linear aus C und für R-linear aus R? Und warum ist die Funktion f(z)=x+iy² C-linear? |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 17:40: |
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Linearität ist folgendermaßen definiert:
f K-linear :<=> Für alle l e K und a,b e V gilt:
1. f(a+b) = f(a) + f(b)
2. f(la) = l * f(a)
V ist dabei ein Vektorraum über K, beispielsweise auch K selbst.
Wenn du Linearität zeigen willst, musst du diese beiden Voraussetzungen prüfen. Du nimmst dir also irgendwelche, möglichst allgemein gewählten Elemente a, b und l (d.h. für C-Linearität a, b aus C) und rechnest nach, ob die Gleichungen stimmen.
Ich habe geschrieben, dass die Funktion f(z)=x+iy2 (ich nehme lieber f(z)=2x+iy2) gerade nicht C-linear ist. Wenn man zeigen will, dass etwas nicht C-linear ist, dann braucht man nur ein Gegenbeispiel, z.B.
z1=2i , z2=3i , dann ist
f(z1+z2) = f(5i) = 25i , aber
f(z1)+f(z2) = 4i + 9i = 13i , also nicht gleich.
Die gleiche Funktion auf R beschränkt wäre aber einfach f(x)=2x. Hier muss man beide Voraussetzungen "nachrechnen":
f(x1+x2) = 2(x1+x2)
f(x1) + f(x2) = 2x1 + 2x2 , d.h. die sind gleich
und 2.:
f(lx1) = 2(lx1)
l * f(x1) = l * 2x1 , die sind auch gleich, also R-linear.
Gruß Dörrby |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 554
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 21:24: |
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Hi,
man darf nicht die Funktion auf R beschränken, sondern nur die Lambdas !!!!! Die Funktion f ist nicht R-Linear, denn f(3*i)=9*i und 3*f(i)=3*i.
sotux |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1751
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. März, 2005 - 23:55: |
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Hi,
als einfachstes Beispiel einer R-linearen, aber nicht C-linearen Abbildung habe ich die komplexe Konjugation anzubieten!
(Dörrbys Bsp ist gar nicht linear!)
Beweis meiner Aussage:
z=a+bi
w=c+di
k € IR
f(z+kw)=a+kc - i(b+kd)=a-ib + k*(c-id)=f(z)+k*f(w)
Als Gegenbsp zu C-Linear
-1=f(-1)=f(i^2)=i*f(i)=-(i^2)=1
Wiederspruch!
mfg |
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