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Herleitung der Drehformeln von Cayley

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4888
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 17:35:   Beitrag drucken

Hi Walter



Es kommt der Prolog zur Herleitung der Drehmatrix
von Cayley.

Die Ausgangssituation.

Gegeben ist die Drehachse g, welche durch
den Nullpunkt O eines orthonormierten Koordinatensystems geht.
Der Drehwinkel ist gegeben und wird mit omega bezeichnet.

Wir setzen omega = 2 * phi;
phi bezeichnet somit den halben Drehwinkel.
Vorausgesetzt wird, dass omega von 180° verschieden ist.

Der Urvektor v = OP wird gedreht, in der Endlage liegt der
Bildvektor v´ = OP´ vor.
Wir ermitteln mit Hilfe der Vektorrechnung den
Zusammenhang zwischen v´ und v
und wenden die erworbenen Kenntnisse auf die
Basiseinheitsvektoren i , j , k an.
Damit sind wir der gesuchten Matrix A schon sehr nahe.

Die Einführung des Vektors a, eines Richtungsvektors
der Drehachse g:
a ist ein Vektor mit den Koordinaten (Komponenten)
a1, a2, a3:
a = {a1;a2;a3}.
Der Betrag von a soll mit tan(phi) übereinstimmen
es soll also gelten:
a1^2+ a2^2 +a3^2 = tan^2 (phi)

Die Richtung von a werde so gewählt, dass die Vektoren
v, v´, a in dieser Reigenfolge eine Rechtsschraube bilden.

Nun erfolgt der Exkurs zur GONIOMETRIE.

Die Aufgabe besteht darin, cos (omega) und sin (omega) durch
den Absolutbetrag ä des Vektors a auszudrücken; die Abkürzung ä für abs(a) ist lustig und dient unseren Bedürfnissen.
Also
ä = tan(phi)

Gonio G1:

cos (omega) = cos (2 phi) = 2 [cos(phi)]^2 – 1 =
2 / [1+(tan(phi))^2] - 1 = (1 – ä^2) / (1 + ä^2)

Gonio G2:

sin (omega) = sin (2*phi) = 2 sin (phi) * cos (phi )
2 * tan(phi) * [cos(phi)]^2 =
2 tan (phi) * 1/ [1 + (tan(phi))^2 ] = 2 ä / (1 + ä^2)

Damit sind wir schon nahe dran!

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4889
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 20:44:   Beitrag drucken

Hi Walter

Aus technischen Gründen muss ich die Fortsetzung meines Beitrags zur Herleitung
der Drehformeln von Cayley verschieben.
Geduld bringt einen mehrseitigen Beitrag,
morgen oder übermorgen!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1205
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 21:44:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

Kein Problem, wie heißt's so schön: "Gut Ding braucht Weil";

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4890
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 19:35:   Beitrag drucken

Hi Walter



Es geht weiter unter dem Motto: in medias res,
zur Sache!

Wir leiten in diesem Abschnitt die vektorielle Drehformel im R3 her, für eine Drehung um die Achse g durch O, Drehwinkel omega = 2*phi,
verschieden von 180°
a ist, wie im letzten Beitrag, ein wohlbestimmter Richtungsvektor von g: a = {a1,a2,a3}.
Schreibweise von a ohne Pfeil, wie alle andern Vektoren auch; der geneigte Leser weiß Bescheid!
Der Vektor a hat den Betrag ä (!), wobei
ä = tan (phi) gilt.

Die erwähnte vektorielle Drehformel (VF), die nun hergeleitet werden soll, lautet:

v’ = [(1 – ä^2) / (1 + ä^2)] * v +
[2 (v . a) / (1 + ä^2)] * a + 2 / (1+ä^2)*[a x v]

Dabei gilt:

Urvektor v = OP (vor der Drehung)
Bildvektor v´ = OP´ (nach der Drehung)
v . a : skalares Produkt der Vektoren v und a.
a x v : vektorielles Produkt der Vektoren a und v.
ä : Betrag des Vektors a


Herleitung der Formel (VF).

Es empfiehlt sich, eine Skizze der Situation herzustellen.
Im Zentrum dieser Figur steht die schiefe Parallelprojektion eines Rotationskegels,
Spitze in O, Achse auf der Drehachse g;
g trägt auch den Vektor a:
a als Ortsvektor a = OZ (Z auf g)
P und P´ liegen auf dem Leitkreis k des Kegels, dessen Ebene normal zu g steht und g im Mittelpunkt M von k schneidet.

Der Drehwinkel omega erscheint als Winkel
(P M P´), Scheitel in M.
Man fokussiere die Aufmerksamkeit auf die
Kreisebene und auf k selbst.

Als erstes zerlegen wir den Vektor v in zwei Komponenten w und r
(w und r sind eo ipso Vektoren):
w soll parallel zur Achse g verlaufen,
r senkrecht zu ihr.
Es gelten dann die Vektorgleichungen:

(A) : w = [(v . a) / ä] * a ;
(B) : r = v – w

Dabei ist v.a das Skalarprodukt v mal a

Interpretation von (B):
mit den Vektoren OM = w, MP = r und
OP = v folgt (B) aus der geschlossenen Vektorkette OM + MP + PO = 0,
also w + r – v = 0 (Nullvektor).

Ein weiteres Unterfangen:
Wir drehen den Vektor r = MP im Drehsinn des Winkels omega um genau 90°, Achse g.
Die Endlage werde durch den Vektor r° = M P°
beschrieben.
Mit Hilfe des Vektorprodukts (cross = x) der Vektoren a und v können wir r° wie folgt bestimmen:

(C) : r° = [a x r] / ä,
wiederum ist abs(a) = ä gesetzt worden.

NB
Ersetzt man in diesem Vektorprodukt
r durch v – w, so entsteht:
[a x r ] = [a x v] – [a x w]: das Letztere VP ist null, da die Vektoren a und w kollinear sind.
Wir schreiben daher auch [a x v] statt [a x r]

Nun drehen wir in der Kreisebene den Vektor r um den Winkel omega, Zentrum M, und wir erhalten in der Endlage den gedrehten Vektor r´.
Wir begeben uns gedanklich in diese Ebene, stellen eine separate Skizze her und finden leicht die Zerlegung (D):
(D) : r´= r * cos (omega) + r° sin (omega)

Wenn wir noch zur Ergänzung (E) notieren, haben wir das Nötigste beisammen;
(E): r´= v´- w , in Analogie zu (B).

Wir setzen zum Endspurt an;
beachte insbesondere (B): r = v –w.
v´= w + r´= w + (v – w) cos (omega) +
[a x v] / ä * sin(omega) =
also:
v´= v * cos(omega) + [1- cos(omega)] * w + [a x v] / ä * sin(omega)

Für w setzen wir nach (A) den Term
[(v . a) / ä] * a ein.
Nun werden noch die Terme
cos (omega), sin (omega) gemäß der Formeln aus den Vorbereitungen im letzten Beitrag
ersetzt, nämlich:

Gonio G1:

cos (omega) = (1 – ä^2) / (1 + ä^2)


Gonio G2:

sin (omega) = 2 ä / (1 + ä^2)


Wir erhalten, bei einiger Sorgfalt, die zu beweisende Formel (VF), die am Anfang dieses Abschnitts steht.

v’ = [(1 – ä^2) / (1 + ä^2)] * v +
[2 (v . a) / (1 + ä^2)] * a + 2 / (1+ä^2)*[a x v]



Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4891
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 19:55:   Beitrag drucken

Hi Walter

Nun können wir ernten, was wir vorbereitet haben.
Wir wenden die Formel (VF) aus dem letzten Beitrag
auf die Basiseinheitsvektoren i, j , k an.

Hier nochmals die Formel (VF)
v’ = [(1 – ä^2) / (1 + ä^2)] * v +
[2 (v . a) / (1 + ä^2)] * a + 2 / (1+ä^2)*[a x v]

(1)
Anwendung auf den Basiseinheitsvektor i der x-Achse.

Es gilt mit a = {a1;a2;a3} = a1 i + a2 j + a3 k
und v = i:
Skalarprodukt (v.a) = (i,a) = a1
Vektorprodukt [a x v] = [a x i] ={0;a3;-a2}=a3 j – a2 k

Zur Abkürzung schreiben wir im Folgenden N für
1 + [abs(a)]^2 ,
also N = 1 + a1^2 + a2^2 + a3^2

wegen (LF) kommt:
i´=(1 – ä^2)/N * i + 2 a1 / N * (a1 i + a2 j + a3 k) +
+2/N * (a3 j – a2 k) ;
geordnet nach i,j,k:
[(1+ a1^2 - a2^2 – a3^2) / N ] * i +
[(2 a1 a2 + 2 a3) / N ] * j +
[(2 a1 a3 - 2 a2) / N ] * k

Schlusssatz:
Wir haben damit die erste Spalte der Abbildungsmatrix
von Cayley verifiziert.

Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4892
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 20:25:   Beitrag drucken

Hi Walter

Nun wenden wir die Formel (VF) auf den
Basiseinheitsvektor j an.

Hier nochmals die Formel (VF)
v’ = [(1 – ä^2) / (1 + ä^2)] * v +
[2 (v . a) / (1 + ä^2)] * a + 2 / (1+ä^2)*[a x v]

(2)
Anwendung auf den Basiseinheitsvektor j der y-Achse.

Es gilt mit a = {a1;a2;a3} = a1 i + a2 j + a3 k
und v = j:
Skalarprodukt (v.a) = (j,a) = a2
Vektorprodukt [a x v] = [a x j] ={-a3;0;a1}= - a3 i + a1 k

Zur Abkürzung schreiben wir im Folgenden N für
1 + [abs(a)]^2 ,
also N = 1 + a1^2 + a2^2 + a3^2

wegen (LF) kommt:

j´=(1 – ä^2)/N * j + 2 a2 / N * (a1 i + a2 j + a3 k) +
+2/N * (-a3 i + a1 k) ;

geordnet nach i,j,k:
[(2 a1 a2 - 2 a3) / N ] * i
[(1- a1^2 + a2^2 – a3^2) / N ] * j +
[(2 a2 a3 + 2 a1) / N ] * k

Schlusssatz:
Wir haben damit die zweite Spalte der Abbildungsmatrix
von Cayley verifiziert.

Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4893
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 20:55:   Beitrag drucken

Hi Walter

Nun wenden wir die Formel (VF) auf den
Basiseinheitsvektor k an.

Hier nochmals die Formel (VF)
v’ = [(1 – ä^2) / (1 + ä^2)] * v +
[2 (v . a) / (1 + ä^2)] * a + 2 / (1+ä^2)*[a x v]

(3)
Anwendung auf den Basiseinheitsvektor k der z-Achse.

Es gilt mit a = {a1;a2;a3} = a1 i + a2 j + a3 k
und v = k:
Skalarprodukt (v.a) = (k,a) = a3
Vektorprodukt [a x v] = [a x k] ={a2;-a1;0}= a2 i - a1 j

Zur Abkürzung schreiben wir im Folgenden N für
1 + [abs(a)]^2 ,
also N = 1 + a1^2 + a2^2 + a3^2

wegen (LF) kommt:

k´=(1 – ä^2)/N * k + 2 a3 / N * (a1 i + a2 j + a3 k) +
+2/N * (a2 i - a1 j) ;

geordnet nach i,j,k:
[(2 a3 a1 + 2 a2) / N ] * i
[(2 a3 a2 - 2 a1) / N ] * j
[(1- a1^2 - a2^2 + a3^2) / N ] * k

Schlusssatz:
Wir haben damit die dritte Spalte der Abbildungsmatrix
von Cayley verifiziert.

Ende der Herleitung!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1207
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 21:02:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

Einfach Weltklasse ; ich werd' mir dies zum Wochenende zu Gemüte führen;

Besten Dank.

Gruß aus Linz an der Donau,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4894
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 21:12:   Beitrag drucken

Hi Walter,

Das ist nun weit übertrieben!

Ich bin zufrieden,wenn meine Ausführungen
verständlich sind und in M weiterhelfen.

Gleichwohl besten Dank für das Bouquet.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4895
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi Walter

Diese Herleitung ist mir seit meinem Studium an der ETH
bekannt.
Sie wurde damals vorgeführt in einer speziellen Vorlesung
von Eduard Stiefel, bekannt für seine wissenschaftlichen Leistungen in angewandter Mathematik und Numerik.
Aber auch seine methodischen Fähigkeiten haben mich damals sehr beeindruckt.

Dies als Quellennachweis.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,mmegamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4896
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 08:27:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es soll die Spur s der Drehmatrix A von Cayley
ermittelt werden.
Pro memoria:
die Spur ist die Summe der Elemente von A,welche in
der Hauptdiagonalen stehen.

Da die Spur einer Drehmatrix invariant bezüglich
einer Drehung des Koordinatensystems ist,
ist es nicht weiter verwunderlich,
dass s in direktem Zusammenhag mit der
von A beschriebenen Drehung
steht.
Wie bereits früher erwähnt, gilt die Beziehung
1/2 *(s - 1) = cos (omega); omega ist der Drehwinkel.

Mit Hilfe der Daten für A verifiziere man
die erwähnte Relation!

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4897
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. März, 2005 - 08:03:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Wir erhalten für die Spur s der Drehmatrix A von Cayley das Resultat
s = 1/N * [3 – tan (phi)^2] =
[3 – tan (phi)^2] / [1 + tan (phi)^2] =

3 / [1+ tan (phi)^2] -
tan (phi)^2 / [1+ tan (phi)^2] =

3 [cos (phi)^2] - [sin (phi)]^2

mithin

s -1 = 3 [cos (phi)^2] - [sin (phi)]^2
- [ sin(phi) ]^2 – [ cos (phi) ]^2 =

2 [cos (phi)^2] – 2 [sin (phi)]^2 = 2 cos (2 phi)

somit:
½(s-1) = cos (2 phi) = cos (omega), qed.

MfG
H.R.Moser,megamath

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